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Eigenschaften einer Projektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:05 Fr 08.03.2013
Autor: Sensei89

Hallo Leute,
keine genaue Aufgabenstellung, da sich das Problem nebenbei ergeben hat.
Gegeben ist eine Matrix  A = [mm] \pmat{ B & D } [/mm] wobei B keine Nullspalte hat, D eine mxm Diagonalmatrix mit positiven Einträgen und P = I - [mm] A^T(AA^T)^{-1}A [/mm]
außerdem ein Vektor [mm] r\not=0, [/mm] dessen letzten m Komponenten 0 sind

Jetzt hätte ich gerne, dass Pr = ar+bv mit v [mm] \perp [/mm] r und a positiv

Dazu hab ich mir überlegt, es wäre einfach zu folgern, wenn P symmetrisch ist. Einfache Rechenbeispiele legen nahe, dass das stimmt. Aber bei nem allgemeinen Beweis hakt es grad

Hauptsächlich bekomme ich es nicht hin [mm] \pmat{B^TB & B^TD \\ DB & D^2 } [/mm] zu invertieren.
Bei meinen Recherchen bin ich bisher nur auf Matrizen der Form [mm] \pmat{ A & B \\ C & D } [/mm] gestoßen, wo vorausgesetzt wurde C sei invertierbar. Das kann ich glaub ich direkt vergessen

kann mir da jemand weiter helfen?

        
Bezug
Eigenschaften einer Projektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:22 Fr 08.03.2013
Autor: fred97


> Hallo Leute,
>  keine genaue Aufgabenstellung, da sich das Problem
> nebenbei ergeben hat.
>  Gegeben ist eine Matrix  A = [mm]\pmat{ B & D }[/mm] wobei B keine
> Nullspalte hat, D eine mxm Diagonalmatrix mit positiven
> Einträgen

Welches Format hat B ? Wie sieht A genau aus ?

Sieht A vielleicht so aus: [mm] A=\pmat{ B & 0 \\ 0 & D } [/mm] ?


>  und P = I - [mm]A^T(AA^T)^{-1}A[/mm]
>  außerdem ein Vektor [mm]r\not=0,[/mm] dessen letzten m Komponenten
> 0 sind
>  
> Jetzt hätte ich gerne, dass Pr = ar+bv mit v [mm]\perp[/mm] r und a
> positiv

P ist linear, wie kann dann Pr so aussehen ??

>  
> Dazu hab ich mir überlegt, es wäre einfach zu folgern,
> wenn P symmetrisch ist.


P ist symmetrisch, berechne mal [mm] P^T [/mm]


FRED

>  Einfache Rechenbeispiele legen
> nahe, dass das stimmt. Aber bei nem allgemeinen Beweis hakt
> es grad
>  
> Hauptsächlich bekomme ich es nicht hin [mm]\pmat{B^TB & B^TD \\ DB & D^2 }[/mm]
> zu invertieren.
>  Bei meinen Recherchen bin ich bisher nur auf Matrizen der
> Form [mm]\pmat{ A & B \\ C & D }[/mm] gestoßen, wo vorausgesetzt
> wurde C sei invertierbar. Das kann ich glaub ich direkt
> vergessen
>  
> kann mir da jemand weiter helfen?


Bezug
                
Bezug
Eigenschaften einer Projektion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:59 Sa 09.03.2013
Autor: Sensei89

ja danke, der letzte satz war das augen öffnen.... der berühmte wald zwischen den ganzen bäumen...

die frage

> P ist linear, wie kann dann Pr so aussehen ??

versteh ich jetzt aber nich so ganz. ich mein, Pr sieht ja fast genau so aus, a ist mindestens nicht negativ, über die 0 müsste ich noch in ruhe nachdenken.

Bezug
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