Eigenschaften einer Relation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Sa 15.05.2010 | | Autor: | ChaoZz |
| Aufgabe | Welche der Ihnen bekannten Eigenschaften binärer Relationen sind bei den folgenden Relationen nachweisbar.
R = {(x,y): x [mm] \varepsilon \IR \wedge [/mm] y [mm] \varepsilon \IR \wedge [/mm] x < y} |
Hallo,
wir diskutieren hier gerade, ob die Relation Antisymmetrisch UND Asymetrisch, oder nur Asymetrisch ist. Laut Lösung wäre sie beides und wir wissen nun nicht, ob beide Eigenschaften sich gegenseitig ausschließen oder nicht. Ich bin der Meinung, dass Antisymmetrie sowohl als auch Schlingen ermöglicht aber in diesem Fall keine Schlingen existieren da x < y was aber nicht bedeutet, dass Schlingen grundsätzlich möglich sein müssen, wenn wir die Relation klar mit x < y festlegen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche der Ihnen bekannten Eigenschaften binärer
> Relationen sind bei den folgenden Relationen nachweisbar.
>
> $R [mm] =\{(x,y): x \in \IR \wedge y \in \IR \wedge x < y\}$
[/mm]
> Hallo,
> wir diskutieren hier gerade, ob die Relation
> Antisymmetrisch UND Asymetrisch, oder nur Asymetrisch ist.
> Laut Lösung wäre sie beides und wir wissen nun nicht, ob
> beide Eigenschaften sich gegenseitig ausschließen oder
> nicht. Ich bin der Meinung, dass Antisymmetrie sowohl als
> auch Schlingen ermöglicht aber in diesem Fall keine
> Schlingen existieren da x < y was aber nicht bedeutet, dass
> Schlingen grundsätzlich möglich sein müssen, wenn wir
> die Relation klar mit x < y festlegen.
die Relation ist in der Tat ![[]](/images/popup.gif) antisymmetrisch:
Sind nämlich $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] mit $x [mm] \not=y\,,$ [/mm] so folgt entweder $x < y$ [mm] ($\gdw [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] R$) oder $y < x$ [mm] ($\gdw [/mm] (y,x) [mm] \in [/mm] R$).
Ferner ist die Relation auch asymmetrisch, denn:
Ist $(x,y) [mm] \in \IR$, [/mm] so folgt, dass $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] und $x < y$ gilt. Wäre nun auch $(y,x) [mm] \in [/mm] R$, so würde zudem $y < x$ gelten, woraus $x < y < x$ und damit, wegen der Transitivität von [mm] $<\,$, [/mm] auch $x < x$ folgen würde. Widerspruch. Also folgt aus $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ somit $(y,x) [mm] \notin R\,.$
[/mm]
P.S.:
Dass jede asymmetrische Relation auch antisymmetrisch ist, ist leicht einzusehen:
Sei [mm] $R\,$ [/mm] eine asymmetrische Relation über [mm] $M\,$ [/mm] und angenommen, [mm] $R\,$ [/mm] wäre nicht antisymmetrisch. Dann gibt es $x,y [mm] \in [/mm] M$ mit $x [mm] \not=y$ [/mm] und
$$(x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (y,x) [mm] \in R\,.$$
[/mm]
Dies widerspricht aber der Asymmetrie von [mm] $R\,,$ [/mm] da sonst für $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ auch
$$(x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (y,x) [mm] \notin [/mm] R$$
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$\neg((x,y) \in [/mm] R) [mm] \vee \neg((y,x) \in [/mm] R)$$
[mm] $$\underset{de\;\;\;Morgan}{\gdw}$$
[/mm]
[mm] $$\blue{\neg(}(x,y) \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (y,x) [mm] \in R\blue{)}$$
[/mm]
gelten müßte.
Besten Gruß,
Marcel
|
|
|
|
