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Guten abend zusammen. Ich soll folgende Aufgabe bearebiten:
Bestimmen Sie jeweils 2 Matrizen, verschieden von der Nullmatrix und der Einheitsmatrix, die die folgende Eigenschaft erfüllt:
[mm] A\in\IR^2^,^2 [/mm] mit [mm] \vektor{1 \\ 2}\in [/mm] Bild (A).
Mit dieser Aufgabe habe ich so meine Probleme bzw. mit dem Bild was bedeutet das genau??? Hab mir auf etlichen Seiten und Skripten versucht diesen Begriff zu erklären. Komme aber einfach nicht mit ihm zu recht. [mm] A\in\IR^2^,^2 [/mm] bedeutet ja, dass ich eine 2x2 Matrix habe. Also 2 Zeilen und 2 Spalten. Das ist mir klar nach diesem Kriterium könnte ich eine Matrix darstellen. Aber wie sieht diese aus, wenn sie Im Bild sein soll???
Wäre für jede Hilfe dankbar. Ich bearbeite die Aufgabe gerne selber brauch nur einen Tip zum Thema Bild.
Mit freundlichen Grüßen Domenick
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Hallo dodov8423!
> Guten abend zusammen. Ich soll folgende Aufgabe
> bearebiten:
> Bestimmen Sie jeweils 2 Matrizen, verschieden von der
> Nullmatrix und der Einheitsmatrix, die die folgende
> Eigenschaft erfüllt:
> [mm]A\in\IR^2^,^2[/mm] mit [mm]\vektor{1 \\ 2}\in[/mm] Bild (A).
> Mit dieser Aufgabe habe ich so meine Probleme bzw. mit dem
> Bild was bedeutet das genau??? Hab mir auf etlichen Seiten
> und Skripten versucht diesen Begriff zu erklären. Komme
> aber einfach nicht mit ihm zu recht. [mm]A\in\IR^2^,^2[/mm] bedeutet
> ja, dass ich eine 2x2 Matrix habe. Also 2 Zeilen und 2
> Spalten. Das ist mir klar nach diesem Kriterium könnte ich
> eine Matrix darstellen. Aber wie sieht diese aus, wenn sie
> Im Bild sein soll???
Hihi, die Matrix soll nicht selbst "im Bild sein", sondern der Vektor da oben soll im Bild von A sein. Das heißt einfach nur, dass es einen Vektor gibt, der durch diese Matrix auf den angegebenen Vektor abgebildet wird (er selbst also das Bild eines anderen Vektors ist).
Das heißt, deine Matrix A erfüllt für irgendeinen Vektor [mm] \vec{v}=\vektor{v_1\\v_2} [/mm] die Eigenschaft:
[mm] A*\vec{v}=\vektor{1\\2}
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Ja das hilft schon ein bischen weiter. Ich muss also eine Matrix finden die die Eigenschaft meines Vektors [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] erfüllt. Da ich eine 2x2 Matrix darstellen muss, muss diese also diese Eigenschaft haben. Wo muss diese Eigenschaft denn sein im Ergebnis der multiplizierten Matrizen??? oder muss das Ergebnis der 2x2 Matrix multipliziert mit dem Vektor diese Eigenschaft erfüllen??? Oder bin ich überhaupt auf dem falschen Dampfer???
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> Ja das hilft schon ein bischen weiter. Ich muss also eine
> Matrix finden die die Eigenschaft meines Vektors [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> erfüllt. Da ich eine 2x2 Matrix darstellen muss, muss diese
> also diese Eigenschaft haben. Wo muss diese Eigenschaft
> denn sein im Ergebnis der multiplizierten Matrizen??? oder
> muss das Ergebnis der 2x2 Matrix multipliziert mit dem
> Vektor diese Eigenschaft erfüllen??? Oder bin ich überhaupt
> auf dem falschen Dampfer???
Hallo,
Bastiane hat Dir dich schon gesagt, daß Du eine Matrix A finden mußt, doe für irgendeinen Vektor v die Eigenschaft hat, daß
[mm] A*v=\vektor{1 \\ 2} [/mm] ist.
Nun befiehl doch einfach der Matrix [mm] A:=\pmat{ a & b \\ c & d}, [/mm] so zu sein, daß sie mit dem ersten Einheitsvektor multipliziert den gesuchten Vektor ergibt, also
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d}*\vektor{1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 2}.
[/mm]
Da brauchst Du nun doch einfach bloß auszurechnen, welche Matrix es tut.
(Statt des Eiheitsvektors könntest Du auch jeden anderen nehmen, nur so rechnet es sich sehr bequem)
Hattet Ihr den Zusammenhang zwischen Linearen Abbildungen und den darstellenden Matrizen? Wenn ja, dann dürfte die Aufgabe, sofern Du nur eine Funken davon verstanden hast, überhaupt kein Problem sein. Falls (!) Ihr das also hattet und Du mit der Aufgabe nicht zurecht kommst, empfehle ich Dir gründliches Nacharbeiten.
Gruß v. Angela
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Doch Lineare Abbildungen, Bild und Kern hatten wir. Habe auch versucht das zu verstehen. Nur leider konnte mir da niemand helfen, das so ziemlich jeder seine Probleme hatte. Lineare Abbildung ist ja kein Problem sind halt nur die Themen Bild und Kern.
Also gut habe jetzt die Matrix [mm] \vmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm] gewählt. es handelt sich also um eine [mm] \IR^2^,^2 [/mm] Matrix mit der Eigenschaft, dass der Vektor [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] im Bild ist.
Ich habe noch eine Frage tut mir wirklich leid ich bin auch sehr dankbar das ihr mir da hilft und hoffe, dass ich mich dafür auch bald revanchieren kann, aber wie kann ich denn rangehen, wenn jetzt nach dem Kern gefragt ist???
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> Doch Lineare Abbildungen, Bild und Kern hatten wir. Habe
> auch versucht das zu verstehen. Nur leider konnte mir da
> niemand helfen, das so ziemlich jeder seine Probleme hatte.
> Lineare Abbildung ist ja kein Problem sind halt nur die
> Themen Bild und Kern.
Hallo,
Du mußt unbedingt wissen, daß in den Spalten der darstellenden Matrizen die Bilder der Basisvektoren stehen.
Dann sind solche Aufgaben ganz leicht.
Der Kern ist all das, was auf den Nullvektor abgebildet wird.
> Also gut habe jetzt die Matrix [mm]\vmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
> gewählt. es handelt sich also um eine [mm]\IR^2^,^2[/mm] Matrix mit
> der Eigenschaft, dass der Vektor [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] im Bild
> ist.
Lt. Aufgabenstellung sollte aber [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] im Bild sein...
Aber egal: er ist's auch, was man sofort sieht, da er als Spalte in der Matrix steht.
Die Spalten der Matrizen sind ein Erzeugendensystem des Bildes.
> Ich habe noch eine Frage tut mir wirklich leid ich bin
> auch sehr dankbar das ihr mir da hilft und hoffe, dass ich
> mich dafür auch bald revanchieren kann, aber wie kann ich
> denn rangehen, wenn jetzt nach dem Kern gefragt ist???
Wenn Du Dir die Matrix selbst machen darfst, kannst Du das ganz geschickt tun.
Du kannst einfach den ersten Basisvektor auf [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] abbilden und den zweiten auf [mm] \vektor{0 \\ 0}.
[/mm]
Dann wird Dein Bild aufgespannt v. [mm] \vektor{1 \\ 2}, [/mm] also [mm] BildA=<\vektor{1 \\ 2}> [/mm] und der Kern wird aufgespannt vom zweiten Einheitsvektor.
Bei der Matrix, die Du jetzt gebaut hast, mußt Du das GS Ax=0 lösen. Der Lösungsraum ist der Kern der Matrix.
Gruß v. Angela
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Gut hier habe ich jetzt allerdings eine völlig neue Aufgabe und zwar:
[mm] \IR^3^,^2 [/mm] ebenfalls mit [mm] \vektor{1 \\ 2} \in [/mm] Kern.
Kann ich das dann genauso anwenden??? Würde mir dann zunächst eine Matrix mit 3 Zeilen und 2 Spalten suchen:
[mm] \vmat{ a & b & c \\ d & e & f }.
[/mm]
P.S. Matrix soll verschieden von Einheitsmatrix und Nullmatrix sein. Ist aber für das Bild nun kein Problem mehr. Kann ja auch einen anderen Vektor nehmen.
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> Gut hier habe ich jetzt allerdings eine völlig neue Aufgabe
> und zwar:
> [mm]\IR^3^,^2[/mm] ebenfalls mit [mm]\vektor{1 \\ 2} \in[/mm] Kern.
> Kann ich das dann genauso anwenden??? Würde mir dann
> zunächst eine Matrix mit 3 Zeilen und 2 Spalten suchen:
> [mm]\vmat{ a & b & c \\ d & e & f }.[/mm]
> P.S. Matrix soll
> verschieden von Einheitsmatrix und Nullmatrix sein. Ist
> aber für das Bild nun kein Problem mehr. Kann ja auch einen
> anderen Vektor nehmen.
Hallo,
wenn Du eine Matrix mit 3 Zeilen und 2 Spalten finden sollst, sieht die anders aus...
Mach' doch mal, wie Du meinst, dann sieht man ja, ob was Richtiges dabei herauskommt.
Gruß v. Angela
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Okay also meine Matrix muss 3 Zeilen und 2 Spalten haben. Also:
[mm] \vmat{ a & b \\ c & d \\ e & f} [/mm] Diese Matrix kan ebenfalls mit einem Vektor [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] multiplizier werden, da die Anzahl der Spalten der Matrix und die Anzahl der Zeilen des Vektors gleich sind. Ih würde diese Matrix wie ein LGS auflösen. Die frage ist nur ab das z.B. nach Gauß gehen würde, da ich in meiner letzten Zeile Null erhalten würde.
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> Okay also meine Matrix muss 3 Zeilen und 2 Spalten haben.
> Also:
> [mm]\vmat{ a & b \\ c & d \\ e & f}[/mm] Diese Matrix kan ebenfalls
> mit einem Vektor [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] multiplizier werden,
Hallo,
ebenfalls???
Bei der gekippten wäre das nicht gegangen...
> da
> die Anzahl der Spalten der Matrix und die Anzahl der Zeilen
> des Vektors gleich sind. Ih würde diese Matrix wie ein LGS
> auflösen. Die frage ist nur ab das z.B. nach Gauß gehen
> würde, da ich in meiner letzten Zeile Null erhalten würde.
Jetzt laß doch mal das Gelaber mit "würde" und könnte. Mach's doch! Multiplizier das Ding mit [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] setze es gleich Null und finde eine Lösung. Sicher gibt es mehrer Lösungen, Du brauchst aber doch nur eine, die's tut.
Gruß v. Angela
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Ich nehme die Matrix [mm] \vmat{ a & b \\ c & d \\ e & f}\*\vektor{1 \\ 2} [/mm] und erhalte:
[mm] \vektor{a2b \\ c2d \\ e2f}=0
[/mm]
Damit das mit der o erfüllt ist müsste ich a,c,e=0 oder b,d,f=0 wählen.
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> Ich nehme die Matrix [mm]\vmat{ a & b \\ c & d \\ e & f}\*\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> und erhalte:
> [mm]\vektor{a2b \\ c2d \\ e2f}=0[/mm]
Himmel!!! Wie multipliziert man denn Matrizen???
Gruß v. Angela
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[mm] \vmat{ 1 & -0,5 \\ 2 & -1 \\ 4 & -2}\*\vektor{1 \\2 } [/mm] würde z.B. [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ergeben.
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> [mm]\vmat{ 1 & -0,5 \\ 2 & -1 \\ 4 & -2}\*\vektor{1 \\2 }[/mm] würde
> z.B. [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ergeben.
Genau.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Di 20.11.2007 | | Autor: | dodov8423 |
Ich bin echt dankbar für alles. 
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