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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Do 13.12.2007 | | Autor: | Goun |
| Aufgabe | Die p-Norm ist definiert durch
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{p} [/mm] = [mm] (\integral{x^{p} dx})^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Zeigen Sie:
a) [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{p} \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{q} [/mm] für p<q
b) Für p<1 ist die p-Norm nach obiger Definition keine Norm.
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Hallo,
ich weiß, die Fragen sind sehr einfach, aber ich versuch mich jetzt schon seit drei Tagen daran und komme auf nichts Vernünftiges. Vielleicht kann mir jemand hier auf die Sprünge helfen.
Bei a) hab ich bisher die Jensen-Ungleichung angewendet, und jetzt nur das Integral über x dastehen. Nur weiß ich jetzt nicht, wie ich da mein q reinbauen kann.
Bei b) weiß ich, dass die Dreiecksungleichung verletzt ist, nur finde ich kein Gegenbeispiel, bei dem die Dreiecksungleichung nicht gilt.
Liebe Grüße,
Anna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Sa 15.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> Die p-Norm ist definiert durch
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{p}[/mm] = [mm](\integral{x^{p} dx})^{\bruch{1}{p}}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> a) [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{p} \le \parallel[/mm] x [mm]\parallel_{q}[/mm]
> für p<q
> b) Für p<1 ist die p-Norm nach obiger Definition keine
> Norm.
>
> Hallo,
>
> ich weiß, die Fragen sind sehr einfach, aber ich versuch
> mich jetzt schon seit drei Tagen daran und komme auf nichts
> Vernünftiges. Vielleicht kann mir jemand hier auf die
> Sprünge helfen.
>
> Bei a) hab ich bisher die Jensen-Ungleichung angewendet,
> und jetzt nur das Integral über x dastehen. Nur weiß ich
> jetzt nicht, wie ich da mein q reinbauen kann.
Ich vermute du hast die Jensen-Ungleichung mit der Funktion [mm]f(y) = y^{1/p}[/mm] angewandt. Ist diese Funktion konvex?
Probier doch die Funktion [mm]f(y) = y^{q/p}[/mm], die für q>p konvex ist.
> Bei b) weiß ich, dass die Dreiecksungleichung verletzt ist,
> nur finde ich kein Gegenbeispiel, bei dem die
> Dreiecksungleichung nicht gilt.
Probier doch mal ein Gegenbeispiel für einen einfacheren Fall zu finden, zum Beispiel auf dem [mm]\IR^2[/mm]:
[mm]\|(x,y)\|_p := \wurzel[p]{|x|^p + |y|^p} [/mm]
und das auf den Funktionenraum zu übertragen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Di 18.12.2007 | | Autor: | Goun |
Hallo Rainer,
dankeschön für deine Hilfe, hat mir sehr weitergeholfen :)
Liebe Grüße,
Anna
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