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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 So 17.06.2007 | | Autor: | fendral |
| Aufgabe | Man bestimme Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der Matrix
A = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -1} [/mm] |
Vorweg: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo nocheinemal!
Danke für die Geduld im Voraus, ich bewerfe euch mit Fragen ;)
Das charakteristische polynom ergibt bei mir: [mm] \lambda^{3} [/mm] - [mm] \lambda^{2}
[/mm]
Daraus ergeben sich für [mm] \lambda_1 [/mm] = -2 [mm] \lamda_2 [/mm] = [mm] \lamda_3 [/mm] = 0
Für die Berechnung von [mm] \lambda [/mm] = -2 bekomme ich folgende Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1}
[/mm]
Nach der Gauss Elimination
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
D.h:
Eigenvektor 1: [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] * v = 0
Nun mein Problem, wie komme ich zum Eigenvektor?
Im Script steht nicht wirklich etwas drinnen. Mir kommt manchmal vor als ob für den vektor v willkürlich irgendwelche "t"s gesetzt werden usw.
Kann mir das jemand auf "kindergartenniveau" zeigen? ;)
Danke sehr!
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Hallo fendral,
> Man bestimme Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der
> Matrix
>
> A = [mm]\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -1}[/mm]
> Das charakteristische polynom ergibt bei mir: [mm]\lambda^{3}[/mm] -
> [mm]\lambda^{2}[/mm]
> Daraus ergeben sich für [mm]\lambda_1[/mm] = -2 [mm]\lamda_2[/mm] = [mm]\lamda_3[/mm]
> = 0 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Hast du dich beim cP verschrieben? Du meintest sicher [mm] cp_A(\lambda)=-\lambda^3-2\lambda^2=-\lambda^2(\lambda+2)
[/mm]
Dann kommst du auch auf die EWe 
> Für die Berechnung von [mm]\lambda[/mm] = -2 bekomme ich folgende
> Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nach der
> Gauss Elimination
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
Hier haste nen VZF bei [mm] a_{11}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] ist richtig
> D.h:
> Eigenvektor 1: [mm]\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> * v = 0
> Nun mein Problem, wie komme ich zum Eigenvektor?
> Im Script steht nicht wirklich etwas drinnen. Mir kommt
> manchmal vor als ob für den vektor v willkürlich
> irgendwelche "t"s gesetzt werden usw.
>
> Kann mir das jemand auf "kindergartenniveau" zeigen? ;)
>
> Danke sehr!
>
ok, wir suchen zu [mm] \lambda_2=-2 [/mm] einen Eigenvektor [mm] 0\ne x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}
[/mm]
In Matrixschreibweise ist zu lösen: [mm] (A+2\mathbb{E})x=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 &\mid 0\\ 3 & 2 & -3 &\mid 0\\ 1 & 0 & 1&\mid 0} [/mm]
Wir können die obigen Umformungen benutzen und erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 &\mid 0\\ 0 & 2 & -6 &\mid 0\\ 0 & 0 & 0&\mid 0}
[/mm]
Das sind 3 Gleichungen in 3 Unbekannten, wobei die letzte Gleichung 0=0 ist, also effektiv haben wir 2 Gleichungen in 3 Unbekannten.
Also haben wir eine frei wählbare Variable.
Setzen wir zB. [mm] x_3=t [/mm] mit [mm] t\in\IR, [/mm] du könntest auch [mm] x_2 [/mm] oder [mm] x_1 [/mm] nehmen - probier's aus...
Dann folgt mit der 2ten Zeile der Matrix: [mm] 2x_2-6x_3=0, [/mm] also [mm] 2x_2-6t=0\Rightarrow 2x_2=6t\Rightarrow x_2=3t
[/mm]
Mit der ersten Zeile der Matrix folgt [mm] x_1+x_3=0, [/mm] also [mm] x_1+t=0. [/mm] somit [mm] x_1=-t
[/mm]
Also ist ein Eigenvektor x zu [mm] \lambda_2=-2 [/mm] von der Form [mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-t\\3t\\t}=t\cdot{}\vektor{-1\\3\\1} [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Wir brauchen einen speziellen Eigenvektor, zB den für t=1, also [mm] x=\vektor{-1\\3\\1}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Mo 18.06.2007 | | Autor: | fendral |
Danke, Danke, Danke, Danke...
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