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| Aufgabe | | Sei [mm] v=(v_1, v_2, v_3)^T [/mm] ein Eigenvektor zum größten Eigenwert von [mm] \pmat{ 6 & 4 & -3 \\ -6 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] . Welchen Wert hat dann [mm] v_1 [/mm] / [mm] v_2? [/mm] |
Das Ergebnis ist {-1}, weiß aber nicht wie man drauf kommt. Kann mir vielleicht wer helfen?
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Und was hat das ganze mit dem Vek. v zu tun, den benutzt man ja gar nicht,oder ?
du machst ja also sowas:
[mm] det(A-\lambda\cdot{}E)=0
[/mm]
det( [mm] \pmat{ 6 & 4 & -3 \\ -6 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ \lambda1 &0 &0 \\ 0& \lambda1 & 0 \\ 0 & 0&\lambda1 })=0
[/mm]
wie subtrahiert man sowas??
und wie kommst du auf [mm] \lambda_1=0, \lambda_2=1, \lambda_3=2
[/mm]
gruß
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> Und was hat das ganze mit dem Vek. v zu tun, den benutzt
> man ja gar nicht,oder ?
Hallo,
das v der Eigenvektor zum größten Eigenwert ist, ist es ja naheliegend, zunächst die Eigenwerte auszurechnen, oder nicht?
1. Was ist ein Eigenwert?
2. Wie berechnet man den?
> du machst ja also sowas:
>
> [mm]det(A-\lambda\cdot{}E)=0[/mm]
>
> det( [mm]\pmat{ 6 & 4 & -3 \\ -6 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] -
> [mm]\pmat{ \lambda1 &0 &0 \\ 0& \lambda1 & 0 \\ 0 & 0&\lambda1 })=0[/mm]
>
> wie subtrahiert man sowas??
Ich bitte Dich! Es wird dort das [mm] \lambda- [/mm] fache der Einheitsmatix v. der der gegebenen Matrix abgezogen, das wirst Du doch hinkriegen.
Dann die Determinante berechnen.
3. Wie erhält man hieraus die Eigenwerte?
4. Einen Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] erhältst Du, indem Du anschließend Kern [mm] (A-\lambda [/mm] E) errechnest - natürlich hast Du da dann das errechnete [mm] \lambda [/mm] eingesetzt.
> und wie kommst du auf [mm]\lambda_1=0, \lambda_2=1, \lambda_3=2[/mm]
Das wirst Du wissen, wenn Du die Arbeitsaufträge 1-3 ausgeführt hast.
Gruß v. Angela
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Hallo. ich habe mit dieser aufgabe jetzt immer noch probleme. ich mal so angefangen, wie man es mir empfohlen hatte.
also:
[mm] det(A-\lambda\cdot{}E)=0
[/mm]
det( [mm] \pmat{ 6 & 4 & -3 \\ -6 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ \lambda1 &0 &0 \\ 0& \lambda1 & 0 \\ 0 & 0&\lambda1 }) [/mm] = 0
det [mm] (\pmat{ 6 - \lambda & 4 & -3 \\ -6 & -4 - \lambda & 4 \\ 0 & 0 & 1 - \lambda }
[/mm]
so dann hatte man mir ja empfohlen die det zu berechnen, aber ich glaube, genau da mache ich fehler. denn ich habe das mal mit dem Entwicklungsatz gemacht.
entwickeln nach der ersten spalte.
[mm] \Rightarrow [/mm] det(A) = (6 - [mm] \lambda) \vmat{ -4 - \lambda & 4 \\ 0 & 1 - \lambda } [/mm] + 6 [mm] \vmat{ 4 & -3 \\ 0 & 1 - \lambda } [/mm] + 0
So jetzt bekomme ich da komisch zahlen raus. mache ich gerade was falsch?
gruß
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> Hallo. ich habe mit dieser aufgabe jetzt immer noch
> probleme. ich mal so angefangen, wie man es mir empfohlen
> hatte.
>
> also:
>
> [mm]det(A-\lambda\cdot{}E)=0[/mm]
>
> det( [mm]\pmat{ 6 & 4 & -3 \\ -6 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] -
> [mm]\pmat{ \lambda1 &0 &0 \\ 0& \lambda1 & 0 \\ 0 & 0&\lambda1 })[/mm]
> = 0
>
> det [mm](\pmat{ 6 - \lambda & 4 & -3 \\ -6 & -4 - \lambda & 4 \\ 0 & 0 & 1 - \lambda }[/mm]
>
> so dann hatte man mir ja empfohlen die det zu berechnen,
> aber ich glaube, genau da mache ich fehler. denn ich habe
> das mal mit dem Entwicklungsatz gemacht.
>
> entwickeln nach der ersten spalte.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] det(A) = (6 - [mm]\lambda) \vmat{ -4 - \lambda & 4 \\ 0 & 1 - \lambda }[/mm]
> + 6 [mm]\vmat{ 4 & -3 \\ 0 & 1 - \lambda }[/mm] + 0
>
> So jetzt bekomme ich da komisch zahlen raus. mache ich
> gerade was falsch?
Hallo,
bis hierher kann ich keinen Fehler entdecken, rechne mal weiter, also die Dets ausrechnen.
Löse hierbei nicht blindlings die Klammern auf, Du kannst nämlich 1 - [mm] \lambda [/mm] ausklammern, was die Sache deutlich vereinfacht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Mo 14.01.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hallo nochmal. ich bin jetzt mittlerweile auch auf die zahlen gekommen.
[mm] \lambda_1=0, \lambda_2=1, \lambda_3=2 [/mm]
so dann habe ich folgendes gemacht:
[mm] Ker((A-0E_3)
[/mm]
[mm] Ker(\pmat{ 6 & 4 & -3 \\ -6 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] )
so das kann ich ja nicht auf ZSF bringen, ist dann der Eigenvektor 0?
[mm] Ker((A-1E_3)
[/mm]
[mm] Ker(\pmat{ 5 & 4 & -3 \\ -6 & -5 & 4 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] )
Hier wäre der Eigenvektor ja 1, und zuletzt:
[mm] Ker((A-2E_3)
[/mm]
[mm] Ker(\pmat{ 4 & 4 & -3 \\ -6 & -6 & 4 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] )
und hier ja wieder 0.
was mache ich hier falsch und wie können denn hier negative zahlen raus kommen?
gruß
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Hallo,
um die Kerne zu berechnen, mußt Du Deine Matrizen jeweils auf Zeilenstufenform bringen.
Dann scheint Dir noch nicht kla zu sein, daß der Kern keine Zahl ist, sondern ein Untervektorraum, der Lösungsraum des entsprechenden homogenen Linearen Gleichungssystem.
Lies bitte zunächst irgendo nach, wie man den Kern bestimmt, Du findest dazu unter Garantie auch eine Menge Threads hier im Forum.
Gruß v. Angela
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das problem ist.
ich habe ja, also jetzt für [mm] \lambda=2, [/mm] weil man ja den größten nehmen soll.
[mm] Ker(\pmat{ 4 & 4 & -3 \\ -6 & -6 & 4 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] bringe ich auf ZSF
[mm] Ker(\pmat{ 4 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 32 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
[mm] Ker(\pmat{ 4 & 4 & -3 \\ 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] so das müsste ja die ZSF sein.
jetzt ist die erste zeile übriggeblieben. was muss ich weiter machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Di 15.01.2008 | | Autor: | crashby |
> das problem ist.
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> ich habe ja, also jetzt für [mm]\lambda=2,[/mm] weil man ja den
> größten nehmen soll.
>
> [mm]Ker(\pmat{ 4 & 4 & -3 \\ -6 & -6 & 4 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm] bringe
> ich auf ZSF
>
> [mm]Ker(\pmat{ 4 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 32 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
>
> [mm]Ker(\pmat{ 4 & 4 & -3 \\ 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] so das
> müsste ja die ZSF sein.
>
> jetzt ist die erste zeile übriggeblieben. was muss ich
> weiter machen?
Guten Abend,
Du hast zwei Nullzeilen d.h der Rang der Matrix ist 1.
Wir müssen nun folgendes betrachten
$ [mm] 4x_1+4x_2-3x_3=0 [/mm] $
Da der Rang 1 ist kannst du zwei Parameter frei wählen.
Wir setzen zb $ [mm] x_2=t [/mm] $ und $ [mm] x_3=s [/mm] $
und erhlaten somit:
$ [mm] 4x_1+4t-3s=0 \gdw x_1=\frac{-4t+3s}{4} [/mm] $
Die Lösungen lauten dann:
$ [mm] x_1=\frac{-4t+3s}{4} [/mm] $
$ [mm] x_2=t [/mm] $
$ [mm] x_3=s [/mm] $
Jetzt kannst du die Basen der Eigenräume aufstellen.
lg
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d.h.
x = t [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{3/4 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
wäre der kern der matrix.
und wenn ich jetzt die -1 und 1 dividiere, komme ich auf meine -1.
aber woher weiß man, welche zahlen man hier dividieren muss?
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:13 Di 15.01.2008 | | Autor: | jaruleking |
ne ok, jetzt habe ichs. hatte in der zsf auch einen fehler.
trotzdem danke
gruß
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> Größte Eigenwert ist demnach [mm]\lambda_3=2.[/mm]
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> Wie kommst du auf -1? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Habe ich mich verrechnet?
> Du kannst ja noch einmal nachrechnen 
Hallo,
jaruleking soll als Endergebnis nicht den größten Eigenwert liefern, sondern der Quotienten der ersten beiden Komponenten eines Eigenvektors zum größten Eigenwert.
Der ist tatsächlich =-1.
Gruß v. Angela
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