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| Aufgabe | Zu bestimmen:
Eigenwerte + Eigenräume für:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 } [/mm] |
Hallo,
bin mir ein wenig unsicher bei dieser Aufgabe hier.
Könnt ihr mir bitte sagen ob ich sie richtig gerechnet hab?
Das Char. Polynom habe ich bestimmt laut Formel:
Det(x*Id - A)
[mm] P_{\gamma} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 5x^{2} [/mm] + x + 15
Nullstelle 1 erraten: 3
Nullstelle 2 mit PQ-Formel: [mm] 1+\wurzel{6}
[/mm]
Nullstelle 3 mit PQ-Formel: [mm] 1-\wurzel{6}
[/mm]
Nun beschränke ich mich auf den Eigenwert 3:
Formel für Eigenräume:
[mm] Eig(\gamma) [/mm] = (A - [mm] \gamma*Id)
[/mm]
D.h.:
Eig(3) = ker( [mm] \pmat{ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 }
[/mm]
// Nun hier eine Zwischenfrage: Können wir DIREKT wegen der dritten Zeile sagen, [mm] x_{3} [/mm] = 0 ?
Nun bringe ich es in Zeilenstufenform und bestimme [mm] x_{1} [/mm] , [mm] x_{2}:
[/mm]
= ker( [mm] \pmat{ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 }
[/mm]
= ker( [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 1 }
[/mm]
= ker( [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
= ker( [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Als LG:
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
sowie [mm] x_{3} [/mm] = 0
Somit lautet der Eigenraum zum Eigenwert 3:
[mm] v_{1} [/mm] = ( 1,1,0)
Gruß,
steffi :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 So 30.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Eig(3) = ker( [mm]\pmat{ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 }[/mm]
>
> // Nun hier eine Zwischenfrage: Können wir DIREKT wegen der
> dritten Zeile sagen, [mm]x_{3}[/mm] = 0 ?
Nein, denn (3, 3, 17) löst die dritte Zeile auch zu Null auf.
> Somit lautet der Eigenraum zum Eigenwert 3:
>
> [mm]v_{1}[/mm] = ( 1,1,0)
Lieber Eig(A,3)=span((1, 1, 0)) schreiben ^^
Aber ansonsten ist der Weg komplett richtig (bis auf eventuelle Rechenfehler - hab nicht nachgerechnet).
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Hallo,
hm... nun frag ich mich aber wie ich auf die (1,1,0) komme...
Denn die sind angeblich richtig..
Mein Char. Poly ist zu 100% richtig :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 So 30.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
> = ker( [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
> Als LG:
>
> [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = 0
> [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
> sowie [mm] x_{3} [/mm] = 0
Aus der ersten Zeile der Matrix folgerst du, dass [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] sein muss, und aus der zweiten, dass [mm] x_{3} [/mm] = 0 ist.
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Ich hab noch ne Frage zum Eigenwert [mm] 1+\wurzel{6}...
[/mm]
Komme nicht ganz auf das Ergebnis:
[mm] (1,-1,2+\wurzel{6})
[/mm]
Nehme meine Formel Eig(M)= ( A - Id*M)
Also:
[mm] Eig(1+\wurzel{6}) [/mm] = ker( [mm] \pmat{ -\wurzel{6} & 2 & 1 \\ 2 & -\wurzel{6} & -1 \\ 1 & -1 & 2-\wurzel{6}})
[/mm]
Nun machen wir ein paar Zeilenumtaushungen:
= ker( [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2-\wurzel{6} \\ 2 & -\wurzel{6} & -1 \\ -\wurzel{6} & 2 & 1 })
[/mm]
= ker( [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2-\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} \\ 0 & 2+\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} })
[/mm]
= ker( [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2-\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} \\ 0 & 0 & 0 })
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{3} [/mm] = r
Dies setzen wir nun in die zweite Zeile ein:
[mm] x_{2}*(2-\wurzel{6}) [/mm] - [mm] r*(5+2\wurzel{6}) [/mm] = 0
[mm] x_{2}*(2-\wurzel{6}) [/mm] = [mm] r*(5+2\wurzel{6})
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{r*(5+2\wurzel{6})}{(2-\wurzel{6})}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(-2+\wurzel{6})r
[/mm]
Das setzen wir in die erste Zeile ein und erhalten:
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*(-2+\wurzel{6})r [/mm] - [mm] (2-\wurzel{6})r
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}(-2+\wurzel{6})r
[/mm]
Bin echt am verzweifeln, weil ich es einfach nicht hinkriege :-(
Liebe Grüße
steffi
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Hallo Steffi1988,
> Ich hab noch ne Frage zum Eigenwert [mm]1+\wurzel{6}...[/mm]
>
> Komme nicht ganz auf das Ergebnis:
>
> [mm](1,-1,2+\wurzel{6})[/mm]
>
> Nehme meine Formel Eig(M)= ( A - Id*M)
>
> Also:
>
> [mm]Eig(1+\wurzel{6})[/mm] = ker( [mm]\pmat{ -\wurzel{6} & 2 & 1 \\ 2 & -\wurzel{6} & -1 \\ 1 & -1 & 2-\wurzel{6}})[/mm]
>
> Nun machen wir ein paar Zeilenumtaushungen:
>
> = ker( [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2-\wurzel{6} \\ 2 & -\wurzel{6} & -1 \\ -\wurzel{6} & 2 & 1 })[/mm]
>
> = ker( [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2-\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} \\ 0 & 2+\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} })[/mm]
>
> = ker( [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2-\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} \\ 0 & 0 & 0 })[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\Rightarrow x_{3}[/mm] = r
>
> Dies setzen wir nun in die zweite Zeile ein:
>
> [mm]x_{2}*(2-\wurzel{6})[/mm] - [mm]r*(5+2\wurzel{6})[/mm] = 0
Hier hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
[mm]x_{2}*\left(2-\wurzel{6}\right) \red{+} r*\left(\red{-}5+2\wurzel{6}\right)[/mm] = 0
>
> [mm]x_{2}*(2-\wurzel{6})[/mm] = [mm]r*(5+2\wurzel{6})[/mm]
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{r*(5+2\wurzel{6})}{(2-\wurzel{6})}[/mm]
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*(-2+\wurzel{6})r[/mm]
>
>
> Das setzen wir in die erste Zeile ein und erhalten:
>
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}*(-2+\wurzel{6})r[/mm] - [mm](2-\wurzel{6})r[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}(-2+\wurzel{6})r[/mm]
>
>
> Bin echt am verzweifeln, weil ich es einfach nicht
> hinkriege :-(
>
> Liebe Grüße
> steffi
Gruß
MathePower
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Danke für den Hinweis.
Nun, ich habe damit mal weitergerechnet..
Aber etweder mache ich einen Fehler oder ich 'sehe' etwas nicht....
Wir hatten ja
[mm] x_{2}(2-\wurzel{6})+r*(-5+2\wurzel{6}) [/mm] = 0
Dies formen wir nach [mm] x_{2} [/mm] um:
[mm] x_{2}(2-\wurzel{6}) [/mm] = [mm] -r(-5+2\wurzel{6})
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}
[/mm]
Das setze ich dann in die erste Zeile ein:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] (-1)*(\bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}} [/mm] + [mm] r(2-\wurzel{6})
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{-5r+2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}} [/mm] + [mm] r(2-\wurzel{6}).
[/mm]
Jetzt lassen wir das [mm] x_{1} [/mm] alleine da stehen:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{-5r+2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}-r(2-\wurzel{6})
[/mm]
Nun erweitern wir den zweiten Bruch mit [mm] (2-\wurzel{6}) [/mm] damit wir die Brüche zusammenfassen können:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}} [/mm] + [mm] (-2r+\wurzel{6}r)*(2-\wurzel{6})
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Liebe Grüße
steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 So 30.03.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Aje,
am Ende muss natürlich ein Bruch hin wo ich erweitert hab..
Sehe es jetzt gerade... .
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Hallo Steffi1988,
> Danke für den Hinweis.
>
> Nun, ich habe damit mal weitergerechnet..
> Aber etweder mache ich einen Fehler oder ich 'sehe' etwas
> nicht....
>
> Wir hatten ja
>
> [mm]x_{2}(2-\wurzel{6})+r*(-5+2\wurzel{6})[/mm] = 0
> Dies formen wir nach [mm]x_{2}[/mm] um:
>
> [mm]x_{2}(2-\wurzel{6})[/mm] = [mm]-r(-5+2\wurzel{6})[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}[/mm]
Für die weiter Rechnung ist es sinnvoll im Nenner keine Wurzeln zu haben.
Erweitere deshalb:
[mm]x_{2} = \bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}=\bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}*\bruch{2+\wurzel{6}}{2+\wurzel{6}}=\bruch{1}{2}r*\left(2-\wurzel{6}\right)[/mm]
>
> Das setze ich dann in die erste Zeile ein:
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm](-1)*(\bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}[/mm] +
> [mm]r(2-\wurzel{6})[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{-5r+2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}[/mm] +
> [mm]r(2-\wurzel{6}).[/mm]
>
> Jetzt lassen wir das [mm]x_{1}[/mm] alleine da stehen:
>
> [mm]x_{1}[/mm] =
> [mm]-\bruch{-5r+2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}-r(2-\wurzel{6})[/mm]
>
> Nun erweitern wir den zweiten Bruch mit [mm](2-\wurzel{6})[/mm]
> damit wir die Brüche zusammenfassen können:
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}[/mm] +
> [mm](-2r+\wurzel{6}r)*(2-\wurzel{6})[/mm]
[mm]x_{1} = \bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}} +
(-2r+\wurzel{6}r)*\bruch{2-\wurzel{6}}{\red{2-\wurzel{6}}}[/mm]
> Ist das soweit richtig?
>
> Liebe Grüße
> steffi
Gruß
MathePower
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Okey,
wenn ich nun mit
$ [mm] \bruch{1}{2}r\cdot{}\left(2-\wurzel{6}\right) [/mm] $ weiterrechne:
Einsetzen in die erste Zeile:
[mm] x_{1} [/mm] + ( (-1) $ [mm] \bruch{1}{2}r\cdot{}\left(2-\wurzel{6}\right) [/mm] $ ) + [mm] r(2-\wurzel{6})
[/mm]
Zusammenfassen:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{-r(2-\wurzel{6})}{2}+\bruch{2r(2-\wurzel{6}}{2}
[/mm]
=
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{-r(2-\wurzel{6})+2r(2-\wurzel{6})}{2}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{r(2-\wurzel{6})}{2}
[/mm]
hmmm..
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Hallo Steffi1988,
> Okey,
> wenn ich nun mit
>
> [mm]\bruch{1}{2}r\cdot{}\left(2-\wurzel{6}\right)[/mm]
> weiterrechne:
>
> Einsetzen in die erste Zeile:
>
>
> [mm]x_{1}[/mm] + ( (-1)
> [mm]\bruch{1}{2}r\cdot{}\left(2-\wurzel{6}\right)[/mm] ) +
> [mm]r(2-\wurzel{6})[/mm]
>
> Zusammenfassen:
>
> [mm]x_{1}[/mm] +
> [mm]\bruch{-r(2-\wurzel{6})}{2}+\bruch{2r(2-\wurzel{6}}{2}[/mm]
>
> =
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{-r(2-\wurzel{6})+2r(2-\wurzel{6})}{2}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{r(2-\wurzel{6})}{2}[/mm]
Schon wieder ein Vorzeichfehler:
[mm]x_{1} = \red{-}\bruch{r(2-\wurzel{6})}{2}[/mm]
>
> hmmm..
Wie muss r gewählt werden, damit [mm]x_{1}[/mm] ganzzahlig wird?
Wähle z.B. [mm]r=2+\wurzel{6}[/mm].
Gruß
MathePower
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Endlich hat es bei mir "klick" gemacht :)
Verstehe das nun soweit alles.
Vielen vielen Dank für Deine große Geduld.
Eine Kleinigkeit noch:
$ [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}=\bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}\cdot{}\bruch{2+\wurzel{6}}{2+\wurzel{6}}=\bruch{1}{2}r\cdot{}\left(2-\wurzel{6}\right) [/mm] $
Kannst Du mir bitte sagen wie Du das genau Schritt für Schritt umgeformt hast? Ich komm beim besten Willen nicht drauf 
Liebe Grüße
steffi
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Hallo Steffi,
> Endlich hat es bei mir "klick" gemacht :)
>
> Verstehe das nun soweit alles.
>
> Vielen vielen Dank für Deine große Geduld.
>
> Eine Kleinigkeit noch:
>
> [mm]x_{2} = \bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}=\bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}\cdot{}\bruch{2+\wurzel{6}}{2+\wurzel{6}}=\bruch{1}{2}r\cdot{}\left(2-\wurzel{6}\right)[/mm]
Na, ausmultiplizieren im Zähler und zusammenfassen, im Nenner hast du die 3. binomische Formel:
[mm] $\bruch{5r-2\wurzel{6}r}{2-\wurzel{6}}\cdot{}\bruch{2+\wurzel{6}}{2+\wurzel{6}}=\frac{(5r-2\wurzel{6}r)\cdot{}(2+\sqrt{6})}{2^2-(\sqrt{6})^2}=\frac{10r\blue{+5\sqrt{6}r-4\sqrt{6}r}-2\sqrt{6}\sqrt{6}r}{-2}=-\frac{1}{2}\cdot{}(10r\blue{+\sqrt{6}r}-12r)=-\frac{1}{2}\cdot{}(-2r+\sqrt{6}r)=\frac{1}{2}r\cdot{}(2-\sqrt{6})$
[/mm]
> Kannst Du mir bitte sagen wie Du das genau Schritt für
> Schritt umgeformt hast? Ich komm beim besten Willen nicht
> drauf
>
>
> Liebe Grüße
> steffi
LG
schachuzipus
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