Eigenvektor + ONB < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Puh. Okay. Habe erstmal aufgeschrieben, was direkt aus dem, was gegeben ist folgt. Hoffentlich stimmt das...
Noch eine kleine Definition am Anfang: B := [mm] (x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] ist die ONB (falls existent), für deren Vektoren [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] gilt, dass diese von [mm] \Phi [/mm] als auch von [mm] \Psi [/mm] Eigenvektoren sind.
(1) [mm] \Phi, \Psi \in [/mm] End(V) [mm] \gdw \Phi, \Psi [/mm] Endomorphismus über V, also Bilden die beiden Abbildungen von V nach V ab.
(2) [mm] \Phi \circ \Psi [/mm] = [mm] \Psi \circ \Phi \gdw \Phi(\Psi(v)) [/mm] = [mm] \Psi(\Phi(v)) [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V.
(3) [mm] \Psi [/mm] selbstadjungiert
(3.1) [mm] \gdw [/mm] für die Abbildungsmatrix von [mm] \Psi [/mm] zur Basis B, bezeichnet mit [mm] A_{\Psi}^B [/mm] gilt: [mm] A_{\Psi}^B [/mm] = [mm] (A_{\Psi}^B)^T [/mm]
(3.2) [mm] \gdw [/mm] die zu [mm] \Psi [/mm] adjungierte Abbildung, bezeichnet mit [mm] \Psi^{\*} [/mm] existiert und es gilt: [mm] \Psi^{\*} [/mm] = [mm] \Psi
[/mm]
(3.3) [mm] \gdw [/mm] in V existiert eine ONB mit Vektoren aus Eigenvektoren von [mm] \Psi
[/mm]
Hinweis: (3.1), (3.2) und (3.3) gilt analog für [mm] \Phi.
[/mm]
Stimmt das soweit?
Nun muss ich die Behauptung der Aufgabe irgendwie beweisen... habe schon verschiedene Dinge "probiert" aber auf keinen grünen Zweig gekommen. :(
Habe versucht den Beweis in zwei Teile zu splitten:
Hinrichtung: [mm] x_j [/mm] (j = 1, ..., n) Eigenvektor von [mm] \Psi \Rightarrow x_j [/mm] Eigenvektor von [mm] \Phi
[/mm]
Rückrichtung: [mm] x_j [/mm] (j = 1, ..., n) Eigenvektor von [mm] \Phi \Rightarrow x_j [/mm] Eigenvektor von [mm] \Psi [/mm]
Okay - probiere ich das mal:
Sei also nun [mm] x_j [/mm] Eigenvektor von [mm] \Psi \gdw \Psi(x_j) [/mm] = [mm] c_j x_j (c_j [/mm] ist Eigenwert zu [mm] x_j) \Rightarrow \Phi(\Psi(x_j)) [/mm] = [mm] \Phi(c_j x_j) [/mm] ... und nun?
Bin für jeden Tipp dankbar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
ich bin im Moment etwas in Eile, daher nur ein kurzer Hinweis:
die darstellenden Matrizen der beiden Abbildungen sind, wie Du selbst festgestellt hast, symmetrisch, was Dir dieorthogonale Diagonalisierbarkeit für jede einzelne sichert..
Das, was Du nun zeigen sollst, findest Du in der Literatur (und im Forum) unter "simultane Diagonalisierbarlkeit".
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 05.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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