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| Aufgabe | Wir betrachten eine reelle 2x2-Matrix der Gestalt
S = [mm] \pmat{ a & b \\ b & -a } [/mm] wobei a,b [mm] \in \IR, a^{2}+b^{2}=1
[/mm]
sowie die zugehörige Abbildung
[mm] F_{S}: \IR^{2} \to \IR^{2}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Sx
In der Vorlesung hatten wir gezeigt, dass [mm] F_{S} [/mm] die Eigenwerte 1 und -1 besitzt.
a) Bestimmen sie einen Eigenvektor v zum Eigenwert 1 und einen Eigenvektor w zum Eigenwert -1. |
Also eigentlich hab ich die Aufgabe schon gelöst.
Mich stört nur ein wenig, dass ich dabei eine Fallunterscheidung drin hab, von der ich glaube, sie durch das Benutzen von Winkelfunktionen, umgehen kann.
Also suche ich einen Winkel [mm] \alpha [/mm] in Abhängigkeit von a und b, um den EV für alle a und b angeben zu können
Ich hab da jetzt schon den ganzen Tag rumgerechnet, komme aber immer wieder zu einem Punkt, wo die Rechnung nicht aufgeht (z.B. dass man plötzlich als EV 0 raus kriegt -.-)
Hat da zufällig jemand nen Denkanstoß oder bin ich mit meinen Annahmen generell auf dem falschen Weg?
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> Wir betrachten eine reelle 2x2-Matrix der Gestalt
> S = [mm]\pmat{ a & b \\ b & -a }[/mm] wobei a,b [mm]\in \IR, a^{2}+b^{2}=1[/mm]
>
> sowie die zugehörige Abbildung
> [mm]F_{S}: \IR^{2} \to \IR^{2},[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] Sx
> In der Vorlesung hatten wir gezeigt, dass [mm]F_{S}[/mm] die
> Eigenwerte 1 und -1 besitzt.
> a) Bestimmen sie einen Eigenvektor v zum Eigenwert 1 und
> einen Eigenvektor w zum Eigenwert -1.
> Also eigentlich hab ich die Aufgabe schon gelöst.
> Mich stört nur ein wenig, dass ich dabei eine
> Fallunterscheidung drin hab, von der ich glaube, sie durch
> das Benutzen von Winkelfunktionen, umgehen kann.
> Also suche ich einen Winkel [mm]\alpha[/mm] in Abhängigkeit von a
> und b, um den EV für alle a und b angeben zu können
> Ich hab da jetzt schon den ganzen Tag rumgerechnet, komme
> aber immer wieder zu einem Punkt, wo die Rechnung nicht
> aufgeht (z.B. dass man plötzlich als EV 0 raus kriegt
> -.-)
> Hat da zufällig jemand nen Denkanstoß oder bin ich mit
> meinen Annahmen generell auf dem falschen Weg?
Hallo,
das Du nichts von Deinem Tun zeigst, kann man schlecht sagen, wo der Fehler liegt.
Wenn [mm] a^2+b^2=1 [/mm] ist, dann gibt es einen Winkel [mm] \alpha [/mm] mit [mm] a=cos\alpha [/mm] und [mm] b=sin\alpha.
[/mm]
Entsprechend sieht dann Deine Matrix aus.
Oder was führst Du im Schilde?
Gruß v. Angela
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ok hätte ich vielleicht sofort machen sollen.... war n bisschen spät gestern ^^
die idee mit a = [mm] sin\alpha [/mm] und b = [mm] cos\alpha [/mm] oder andersrum je nachdem wie es besser passt hatte ich auch schon.
dabei komm ich zum eigenvektor (zu EW = 1) [mm] \vektor{\bruch{sin\alpha}{cos\alpha -1} \\ 1} [/mm]
da ist aber wieder das problem, dass ich nicht [mm] \alpha [/mm] = 0 einsetzen kann
und auch die umformung zu [mm] \vektor{sin\alpha \\ cos\alpha - 1} [/mm] bringt da nichts, da für [mm] \alpha [/mm] = 0 als EV 0 raus kommt.
da müsste man also wieder die fallunterscheidung machen, die ich ja umgehen will.
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> da müsste man also wieder die fallunterscheidung machen,
> die ich ja umgehen will.
Hallo,
bloß warum willst Du sie partout umgehen?
Ich finde, daß das Bemühen darum vergeudete Energie ist...
Der Fall, daß ein Eintrag der Matrix 0 ist, ist doch schnell abgehandelt, und den Eigenvektor [mm] \vektor{1\\0} [/mm] wirst Du nicht dazu überreden können, im Gewand [mm] \vektor{...\\1} [/mm] daherzukommen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Mi 28.04.2010 | | Autor: | Faithless |
nuja... nötig is es nicht aber wenn man zeigen soll dass die EV zu 1 und -1 senkrecht aufeinander stehen setzt sich die fallunterscheidung fort und wenn man das umgehen könnte wäre die lösung der aufgabe schöner find ich ;)
ich hatte gehofft den EV [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] als [mm] \vektor{cos(0) \\ sin(0)}schreiben [/mm] zu können, so oder so in der art jedenfalls.
nur dadran verzweifel ich eben... wenn das wirklich nicht geht könnte das der grund dafür sein...
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> nuja... nötig is es nicht aber wenn man zeigen soll dass
> die EV zu 1 und -1 senkrecht aufeinander stehen setzt sich
> die fallunterscheidung fort
Hallo,
die Dir vorliegende Matrix ist symmetrisch, und Ihr hattet sicher schon, daß bei symmetrischen Matrizen die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten senkrecht zueinander sind.
Mit dem entsprechenden Satz ist also gar nichts mehr zu rechnen.
> und wenn man das umgehen
> könnte wäre die lösung der aufgabe schöner find ich ;)
Hm. Ich find's gar nicht schöner, wenn man die übersichtlichen Fälle mit 2 Nullen und [mm] \pm [/mm] 1 im Getümmel untergehen läßt.
Man könnte sich sogar die Geometrie dazu überlegen.
Gruß v. Angela
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