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Meine Aufgabe ist:Welche der acht obere Dreiecksmatrix ,A aus Mat2(F2) sind diagonalisierbar?
Mir ist klar ,dass ich die Eigenwerte und die Eigenwektoren bestimmen muss.Mit den Eigenwerten ist es kein Problem,aber ich weiss nicht wie ich die Eigenvektoren ausrechnen muss?
Kann mir jemand einen Beispiel geben und es erklären,bitte?
Mfg
PS:Das wäre zum Beispiel die eine der 8 obere Dreiecksmatrix,die ich betrachte:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Meine Aufgabe ist:Welche der acht obere Dreiecksmatrix ,A
> aus Mat2(F2) sind diagonalisierbar?
> Mir ist klar ,dass ich die Eigenwerte und die
> Eigenwektoren bestimmen muss.Mit den Eigenwerten ist es
> kein Problem,aber ich weiss nicht wie ich die Eigenvektoren
> ausrechnen muss?
> Kann mir jemand einen Beispiel geben und es
> erklären,bitte?
> Mfg
> PS:Das wäre zum Beispiel die eine der 8 obere
> Dreiecksmatrix,die ich betrachte:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
>
Dein gewähltes Beispiel ist ungünstig, weil die Matrix ja schon Diagonalgestalt hat, damit dann auch logischerweise diagonalisierbar ist.
Nehmen wir mal die Matrix [mm]A=\begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \\ \end{pmatrix}[/mm]
Dann hat diese Matrix das char. Polynom:
[mm] $P_A [/mm] (t) = (1-t)(-t) - 0*1 = [mm] t^2-t$
[/mm]
Das hat die Nullstellen 0 und 1. Das sind also die Eigenwerte. (Du musst hier immer darauf achten, dass du im [mm] $\IF_2$ [/mm] bist!)
Nun berechnest du die Eigenräume dazu... diese müssen jeweils 1-dimensional sein. Das heißt es muss einen von 0 verschiedenen Eigenvektor geben, für den gilt: Av = 0 bzw. Av = 1.
Um einen solchen Eigenvektor zu bestimmen berechnest du die Eigenräume für 1 und 0:
$Kern ( A - [mm] E_2 [/mm] ) $ für den Eigenwert 1 und $ Kern (A - 0 [mm] -*E_2) [/mm] = Kern (A) $ für den Eigenwert 0.
Versuche es einfach mal für das Beispiel!
Gruß, Micha 
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Ok,danke,
kannst du mir noch sagen,wie man dim Kern(tE-A) berechnet??????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Micha |
> Ok,danke,
> kannst du mir noch sagen,wie man dim Kern(tE-A)
> berechnet??????
>
Den Kern von (A-tE) bestimmt man, indem man zuerst die Matrix ausrechnet, und dann den Kern bestimmt.
In unserem Bespiel wählen wir t = 1 ....
$Eig (A,1) = Kern ( A - [mm] 1*E_2) [/mm] = Kern [mm] \begin{pmatrix} 1-1 & 1 \\ 0 & 0 -1 \\ \end{pmatrix}$
[/mm]
$ = Kern [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ [/mm] (Achtung wir sind im [mm] $\IF_2$ [/mm] !!! Da gilt -1 = 1)
Für den Kern einer Matrix A gilt: Wenn $x [mm] \in [/mm] Kern(A)$
dann gilt: Ax = 0.
Also: [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \gdw x_2 = 0[/mm]
Also ist die 2. Komponente immer 0 für alle Elemente des Kerns. Für die erste Komponente haben wir freie Wahlmöglichkeit. Im [mm] $\IF_2$ [/mm] besteht die aber nur aus 1 und 0 ...
Also ist $ [mm] Kern(A-E_2) [/mm] = Eig(A, 1) = [mm] \{ \begin{pmatrix}0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \}$.
[/mm]
Der Kern ist also 1-Dimensional (wegen einem Freiheitsgrad in der 1. Komponente...). Das musst du auch für den zweiten Kern testen... ist er auch 1-Dimensional, so ist A diagonalisierbar.
Gruß Micha 
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