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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
| Aufgabe | Hallo alle zusammen ich habe probleme bei dieser Aufgabe:
Gegeben sei die reelle 3 X 3 Matrix
Aa =
0 2 0
2 4 a
0 4 0
die von einem reellen Parameter a abhängt.
(a) Bestimmen Sie alle Werte von a Element R, für welche die Matrix Aa nur reelle Eigenwerte besitzt. Geben
Sie diese Eigenwerte in Abhängigkeit von a an.
(b) Bestimmen Sie ein a Element R, für das die Matrix Aa genau zwei verschiedene reelle Eigenwerte besitzt.
Geben Sie diese Eigenwerte an und berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren.
Kann mir jemand bitte sagen wie ich vorgehen soll. |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
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Hallo ;)
> Hallo alle zusammen ich habe probleme bei dieser Aufgabe:
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> Gegeben sei die reelle 3 X 3 Matrix
>
> Aa =
>
> 0 2 0
> 2 4 a
> 0 4 0
>
> die von einem reellen Parameter a abhängt.
> (a) Bestimmen Sie alle Werte von a Element R, für welche
> die Matrix Aa nur reelle Eigenwerte besitzt. Geben
> Sie diese Eigenwerte in Abhängigkeit von a an.
> (b) Bestimmen Sie ein a Element R, für das die Matrix Aa
> genau zwei verschiedene reelle Eigenwerte besitzt.
> Geben Sie diese Eigenwerte an und berechnen Sie die
> zugehörigen Eigenvektoren.
>
> Kann mir jemand bitte sagen wie ich vorgehen soll.
> Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
Hehe genau die gleiche Aufgabe hatte ich vor ca. 2 Jahren.
Gleich mal vorneweg: Was weißt du über Eigenwerte, charakteristisches Polynom,... (und alles was dazu gehört) ? Habt ihr irgendwelche Definitionen oder sonstiges gelernt ? Poste am besten mal einige Rechenschritte / Ansätze von dir.
Ich möchte dir jetzt nicht den Ansatz zeigen sonst hast du ja gar nichts mehr zu tun ;) so lang ist das Beispiel ja zum Glück nicht.
LG Scherzkrapferl
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Hallo!
Grundsätzlich solltest du bereits wissen, wie man Eigenwerte berechnet, also [mm]\mathbf{A}_a-\lambda \mathbf{E}[/mm] bilden, die Determinante =0 setzen, und dann nach [mm] \lambda [/mm] auflösen.
Du wirst sehen, dabei kommen Wurzelterme mit dem a drin vor, und das sollte dich an die pq-Formel erinnern. Da tauchte auch eine Wurzel auf. Wann hat eine quadratische Gleichung - abgelesen an der pq-Formel - zwei oder eine Nullstelle, und wann keine (bzw. komplexe, nicht reelle)?
Genau darum gehts hier auch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hallo leute ich hab folgendes Polynom raus:
( 0 - lamta)*(4-lamta)*(0-lamta) - (4a)*(0-lamta) -4lamta
= Hab folgendes Polynom raus:
[mm] 4lamta^2 [/mm] - [mm] lamta^3 [/mm] + 4alamta -4lamta
Ist es richtig ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mi 20.06.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Kevin,
so nach einem halben Jahr hier sollte Dir aufgefallen sein, dass man in diesem Forum tatsächlich Formeln schreiben kann. Dazu gibt es einen Formeleditor. Verwende ihn bitte, dann kann man Deine Matrizen und Gleichungen und Variablen auch lesen.
> Hallo leute ich hab folgendes Polynom raus:
>
> ( 0 - lamta)*(4-lamta)*(0-lamta) - (4a)*(0-lamta) -4lamta
>
> = Hab folgendes Polynom raus:
>
> [mm]4lamta^2[/mm] - [mm]lamta^3[/mm] + 4alamta -4lamta
Der griechische Buchstabe heißt Lambda. Der entsprechende (Klein-)Buchstabe wird hier dargestellt, wenn Du \lambda eingibst. Dann erscheint [mm] \lambda.
[/mm]
Grüße
reverend
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das CP lautet: [mm]4a \lambda -\lambda^{3} +4\lambda ^{2}+4\lambda[/mm]
LG Scherzkrapferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Do 21.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Aber wie berechne ich jetzt genau die eigenwerte?
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Hallo nochmal,
Event_Horizon hat dir eigentlich schon 90% von deinem Beispiel gelöst ;)
lies dir seine Antwort nochmal genau durch.
Ich glaube kaum dass du diese Aufgabe bekommen hast, ohne nicht vorher mindestens 1x irgendwelche Eigenwerte zu einer Matrix zu berechnen.
Kleiner tipp: Setzt das CP=0 ;) (genau das hast Event_Horizon mit der "Determinante =0 setzen, und dann nach $ [mm] \lambda [/mm] $ auflösen." gemeint.
LG Scherzkrapferl
PS: du wirst auf 3 Eigenwerte stoßen.
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Hallo nochmal,
Ich glaube es ist am besten ich erklär dir schnell (bevor ich jetzt gleich zu Bett gehe) was man tut um so ein Bsp. zu lösen:
also .. als erstes betrachten wir deine Matrix.
Die Formel [mm](A-\lambda E)[/mm] sollte dir bekannt sein.
Das Charakteristische Polynom ist nichts anderes als die Determinante von [mm](A-\lambda E)[/mm].
Also [mm]Det(A-\lambda E)=CP[/mm]
um nun [mm]\lambda[/mm] (also die Eigenwerte) zu bestimmen setzten wir [mm]Det(A-\lambda E)=CP=0[/mm]
in deinem Fall: [mm] 4a \lambda -\lambda^{3} +4\lambda ^{2}+4\lambda =0[/mm]
daraus folgen 3 Ergebnisse:
[mm]\lambda_1=0[/mm]
[mm]\lambda_2=2(1-\sqrt{a+2})[/mm]
[mm]\lambda_3=2(\sqrt{a+2}+1)[/mm]
zu a)
Bestimmen Sie alle Werte von a Element R, für welche die Matrix Aa nur reelle Eigenwerte besitzt. Geben
Sie diese Eigenwerte in Abhängigkeit von a an.
nun haben wir also schon den 2. Satz durchgeführt.
der erste Satz ist auch recht einfach zu lösen Event_Horizon hat einen genialen Tipp gegeben: er hat dich an die pq-Formel erinnert.
Damit die 3 Eigenwerte reell sind muss bekanntlich [mm]\sqrt{a+2}[/mm] reell sein. ([mm]\lambda_1=0[/mm] ist sowieso reell)
Also betrachten wir die Wurzel näher: [mm]\sqrt{a+2}[/mm]
Für diese muss gelten, dass alles was drinnen steht [mm]\geq 0[/mm] ist, also
[mm]a+2\geq 0 \Rightarrow a \geq -2[/mm]
das heißt nichts anderes als dass für alle [mm] a \geq -2[/mm] die Eigenwerte reell sind.
nun zu Punkt b)
Bestimmen Sie ein a Element R, für das die Matrix Aa genau zwei verschiedene reelle Eigenwerte besitzt.
Geben Sie diese Eigenwerte an und berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren.
damit es genau 2 Eigenwerte gibt muss gelten [mm]a=-2[/mm]
warum ist das nun so ? Gleiche Überlegung wie vorher:
Wir betrachten diesmal aber nur [mm]\lambda_2[/mm] und [mm]\lambda_3[/mm]:
da [mm]\lambda_1=0[/mm] ist müssen [mm]\lambda_2[/mm] und [mm]\lambda_3[/mm] gleich sein.
[mm]\lambda_2=2(1-\sqrt{a+2})[/mm]
[mm]\lambda_3=2(\sqrt{a+2}+1)[/mm]
für [mm]a=-2[/mm] folgt: [mm]\lambda_2=\lambda_3=2[/mm]
also fehlen nur noch die Eigenvektoren:
diese Berechnen wir mit [mm] (A-\lambda_i [/mm] E)v=0
[mm]i=1,2,3[/mm] ; [mm]v=(v_x,v_y,v_z)^{T}[/mm]
nach kurzer Berechnung folgt:
[mm]v_1=(\frac{-a}{2},0,1)^{T}[/mm]
[mm]v_2=(\frac{1}{2},\frac{(1-\sqrt{a+2}}{2},1)^{T}[/mm]
[mm]v_3=(\frac{1}{2},\frac{(1+\sqrt{a+2}}{2},1)^{T}[/mm]
(man hätte auch vorher die entsprechenden Eigenwerte einsetzten können - vereinfacht die Berechnung)
für den Fall dass $a=-2$ musst du allerdings bisschen nachdenken und dann wirst du auf folgende Eigenvektoren stoßen:
[mm]v_1=(1,0,1)^{T}[/mm]
[mm]v_2=(1,1,2)^{T}[/mm]
[mm]v_3=(0,0,0)^{T}[/mm]
Jetzt hast du mal ein kleines "Kochrezept" für das was getan werden soll ;)
LG und gute Nacht
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