Eigenvektoren ähnliche Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mi 07.03.2012 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Gegeben seien die reellen 3 x 3-Matrizen
A = [mm] \pmat{ 6 & -2 & -10 \\ -8 & 6 & 16 \\ 6 & -3 & 11 }
[/mm]
P = [mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
B = PAP = [mm] \pmat{ 6 & -8 & -16 \\ -2 & 6 & 10 \\ 3 & -6 & -11 }
[/mm]
Es sei bekannt,dass v1 = [2 0 [mm] 1]^{T} [/mm] , v2 = [1 -1 [mm] 1]^{T} [/mm] und v3 = [1 2 [mm] 0]^{T} [/mm] Eigenvektoren der Matrix A sind. Gib die EV von B an. |
Hallo leute, ich habe diese Aufgabe vor mir.
Wir sehen,dass P eine orthogonalmatrix ist,also gilt : P = [mm] P^{-1} [/mm] = [mm] P^{T},
[/mm]
also B = [mm] P^{-1}*A*P [/mm] -> A und B sind ähnlich.
Dass EW von ähnlichen Matrizen gleich sind, ist klar, aber ich habe als Lösung für obere Aufgabe folgendes :
w1 = P*v1 , w2 = P*v2 , w3 = P*v3
Ist das immer so? Kann ich die EV von A zu einer ähnlichen Matrix B durch das Produkt der EV von A und der Transformationsmatrix(falls sie existiert oder was das hier auch immer für eine P Matrix ist) darstellen? Würde gerne wissen, warum und wie man das notfalls zeigen kann. Mir gehts weniger um das Ergebnis der oberen Aufgabe.
Ich habe folgendes gefunden:
http://www.mathepedia.de/Aehnlichkeit_von_Matrizen.aspx
Bei der Bemerkung zur Diagonalisierbarkeit wird genau das irgendwie gezeigt.
Mein eigentliches Problem ist auch die Gleichung an sich. Wie sehen die Umformungen aus?
Also :
Av = [mm] \lambda*v
[/mm]
Bw = [mm] \lambda*w
[/mm]
Sei B = [mm] S^{-1}*A*S [/mm] , dann gilt w = [mm] S^{-1}*v*B*w [/mm] . <- Hier weiß ich schonmal nicht,wie man diese Umformung hinbekommt.
und = [mm] S^{-1}*A*S*S^{-1}*v [/mm] = [mm] S^{-1}*A*v [/mm] = [mm] S^{-1}*\lambda*v [/mm] = [mm] \lambda*S^{-1}*v [/mm] = [mm] \lambda*w [/mm] <-- Das hier will ich sozusagen zeigen (nur ohne [mm] \lambda [/mm] )
Kann mir wer die Gleichungen erläutern und nochmal sagen, wieso ich die EV durch das Produkt der Matrix P und den EV von A kriege? Liegts dadran,dass P eine orthonormalbasis ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Mi 07.03.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
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> Av = [mm]\lambda*v[/mm]
> Bw = [mm]\lambda*w[/mm]
>
> Sei B = [mm]S^{-1}*A*S[/mm] , dann gilt w = [mm]S^{-1}*v*B*w[/mm] . <- Hier
> weiß ich schonmal nicht,wie man diese Umformung
> hinbekommt.
Das steht ja da auch nicht.
Es steht da
wenn [mm] A*v=\lambda*v [/mm] und [mm] w=S^{-1}*v [/mm] gilt, dann gilt für [mm] B=S^{-1}*A*S
[/mm]
[mm] B*w=S^{-1}*A*S*S^{-1}*v=S^{-1}*A*v=\lambda*S^{-1}*v=\lambda*w
[/mm]
D.h. wenn v Eigenvektor von A ist, dann ist [mm] S^{-1}*v [/mm] Eigenvektor von B.
Umgekehrt kann auch gezeigt werden, wenn v Eigenvektor von B ist, dann ist [mm] S^{}*v [/mm] Eigenvektor von A.
Reicht das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Do 08.03.2012 | | Autor: | dimi727 |
reicht mir leider nicht :(
Ist das immer so,dass man die EVektoren durch die Inverse einer Transformationsmatrix und den EV einer ähnlichen Matrix berechnen kann?
Und wo steht
"wenn $ [mm] A\cdot{}v=\lambda\cdot{}v [/mm] $ und $ [mm] w=S^{-1}\cdot{}v [/mm] $ gilt, dann gilt für $ [mm] B=S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S [/mm] $"
?? da stehts so,wie ich es aufgeschrieben habe! Nämlich andersrum?
Av = [mm] \lambda [/mm] * V und $ [mm] B=S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S [/mm] $ DANN folgt .. ??
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> reicht mir leider nicht :(
>
> Ist das immer so,dass man die EVektoren durch die Inverse
> einer Transformationsmatrix und den EV einer ähnlichen
> Matrix berechnen kann?
Hallo,
wenn [mm] B=S^{-1}AS [/mm] ist , [mm] \lambda [/mm] ein EW und v ein EV von A,
dann ist immer [mm] B*S^{-1}v=S^{-1}AS*S^{-1}v=S^{-1}Av=S^{-1}*(\lambda v)=\lambda*(S^{-1}v), [/mm] womit die Frage beantwortet sein sollte. (Hättest Du übrigens auch selbst ausrechnen können)
>
> Und wo steht
>
> "wenn [mm]A\cdot{}v=\lambda\cdot{}v[/mm] und [mm]w=S^{-1}\cdot{}v[/mm] gilt,
> dann gilt für [mm]B=S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S [/mm]"
In Deinem Link...
>
> ?? da stehts so,wie ich es aufgeschrieben habe! Nämlich
> andersrum?
> Av = [mm]\lambda[/mm] * V und [mm]B=S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S[/mm] DANN folgt
> .. ??
Ach, jetzt sehe ich, was passierst ist: in dem Link sind die Abstände mißglückt, und Du hast das daher völlig falsch verstanden.
Gemeint ist in dem Link dies:
"Ist beispielsweise [mm] Av=\labda [/mm] v und B = [mm] S^{-1}AS, [/mm] so gilt für w= [mm] S^{-1}v [/mm]
Bw = [mm] S^{-1}ASS^{-1}v [/mm] = [mm] S^{-1}Av= [/mm] usw."
LG Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:51 So 11.03.2012 | | Autor: | dimi727 |
Ahso,dann ist das einfach so..?
Ja und ich wollte es auch selber nachrechnen, kannes aber leider irgendwie nicht.
Komme nicht dadrauf,wie er umgeformt und was erdann ersetzt/eingesetzt hat, sodass er auf einer seite nur einen Vektor rauskriegen konnte.
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> Ahso,dann ist das einfach so..?
Hallo,
ich weiß gerade nicht, was Du meinst.
Es ist doch vorgerechnet, daß es so ist.(?)
>
> Ja und ich wollte es auch selber nachrechnen, kannes aber
> leider irgendwie nicht.
>
> Komme nicht dadrauf,wie er umgeformt und was erdann
> ersetzt/eingesetzt hat, sodass er auf einer seite nur einen
> Vektor rauskriegen konnte.
Hm.
Vielleicht machst Du jetzt mal so weit vor, wie Du es verstehst und präzisierst dann, was nicht klar ist.
Ich hatte es doch auch vorgerechnet. (?)
LG Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 12.03.2012 | | Autor: | dimi727 |
"Sei B = $ [mm] S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S [/mm] $ , dann gilt w = $ [mm] S^{-1}\cdot{}v\cdot{}B\cdot{}w [/mm] $ . <- Hier weiß ich schonmal nicht,wie man diese Umformung hinbekommt. "
Ich zitiere mich mal selbst. Ja ich weiß, dass es vorgerechnet wird, nur will cih selber diese Schritte nachvollziehen.
Diesen ersten schritt oben verstehe ich zB nicht,wie man aus B = $ [mm] S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S [/mm] $ dann
w = $ [mm] S^{-1}\cdot{}v\cdot{}B\cdot{}w [/mm] $
kriegt?? Ich habe gerade keinen Plan,wie ich die Gleichung der Ähnlichkeit in diese 2e Umforme?
Außerdem hat mir hier immernoch niemand beantwortet, ob ich EV ähnlicher Matrizen durch eine orthogonale Matrix darstellen kann. SO wie in meiner AUfgabe ganz am Anfang.
:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 12.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> "Sei B = [mm]S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S[/mm] , dann gilt w =
> [mm]S^{-1}\cdot{}v\cdot{}B\cdot{}w[/mm] .
Diese Gleichung ist völliger Unsinn. Wo hast Du die her ?
> <- Hier weiß ich schonmal
> nicht,wie man diese Umformung hinbekommt. "
>
> Ich zitiere mich mal selbst. Ja ich weiß, dass es
> vorgerechnet wird, nur will cih selber diese Schritte
> nachvollziehen.
>
> Diesen ersten schritt oben verstehe ich zB nicht,wie man
> aus B = [mm]S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S[/mm] dann
> w = [mm]S^{-1}\cdot{}v\cdot{}B\cdot{}w[/mm]
> kriegt??
Nochmal: es ist Unsinn
FRED
> Ich habe gerade keinen Plan,wie ich die Gleichung
> der Ähnlichkeit in diese 2e Umforme?
>
> Außerdem hat mir hier immernoch niemand beantwortet, ob
> ich EV ähnlicher Matrizen durch eine orthogonale Matrix
> darstellen kann. SO wie in meiner AUfgabe ganz am Anfang.
>
> :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mo 12.03.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast das irgendwie falsch gelesen. Schau nochmal in meinem Post nach, da hab ich Dir das doch vorgerechnet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 12.03.2012 | | Autor: | dimi727 |
ah ok, Missglückte Abstände, musste erst wieder die alten Antworten lesen und irgendwie habe ich damals wohl nicht gecheckt,was ihr meint...
Doof gemacht auf der Seite, aber ok. Wenn die 3 Sachen gelten,dann gilt das,was da halt steht.
Ok.ok.
$ [mm] w=S^{-1}\cdot{}v [/mm] $ gilt jetzt aber bei ähnlichen Matrizen und orthogonalem S immer?
Danke Leute, sorry für die Aufregung.
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> ah ok, Missglückte Abstände, musste erst wieder die alten
> Antworten lesen
Hallo,
ja, lesen bildet.
> [mm]w=S^{-1}\cdot{}v[/mm] gilt jetzt aber bei ähnlichen Matrizen
> und orthogonalem S immer?
Das S muß noch nichtmal orthogonal sein. Invertierbar reicht.
Und das solltest Du nun selbständig zeigen können.
Worum geht es:
Du hast eine Matrix A mit dem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und zugehörigem Eigenvektor v und eine invertierbare Matrix S, so daß [mm] B=S^{-1}AS, [/mm] und Du willst nun wissen, ob immer w:= [mm] S^{-1}v [/mm] ein Eigenwert von B ist.
Habe ich das richtig verstanden und wiedergegeben? (Wenn nein: formuliere genau, was Du wissen möchtest.)
Falls ich Deine Frage richtig verstanden habe, solltest Du sie Dir inzwischen mit dem, was Dir hier im Thread vorgerechnet wurde und was im Link steht, selbst beantworten können.
Du mußt doch rausfinden, ob w ein EV von B ist, also ausrechnen, ob Bw ein Vielfaches von w ist.
Das sollte nun eigentlich kein Problem mehr sein.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Mo 12.03.2012 | | Autor: | dimi727 |
Jap, du hast mich richtig verstanden und ich hab mir jetzt bei der Formulierung einen Reim gemacht. Hab die ganze Zeit versucht es mir etwas anders vorzurechnen/zu erklären. Aber hier ist der Trick einfach,dass man v = S*w annimmt und dann die Gleichung mit der ähnlichkeit der matrizen hinzumultipliziert, wodurch man rausfinden kann,ob Bw ein vielfaches vom EV ist und somit w auch wirklich ein EV von B ist.
Danke für die Geduld 
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