Eigenvektoren einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man ermittle die Eigenwerte und -vektoren der Matrix A.
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 } [/mm] |
Hallo,
ich habe folgende Eigenwerte und Eigenvektoren errechnet:
[mm] P(\lambda) [/mm] = [mm] -\lambda^{3} [/mm] + 7 [mm] \lambda [/mm] -6 = 0
[mm] \lambda_{1}=1 [/mm] , [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] , [mm] \lambda_{3}=-3
[/mm]
Eigenvektor für [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] :
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -3 } [/mm] * [mm] \vektor{\alpha \\ \beta \\ \gamma} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
ZFS d. Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] ich setze [mm] \gamma [/mm] = t [mm] \in \IR [/mm] und erhalte als Lösung
[mm] v_{1} [/mm] = t * [mm] \vektor{\bruch{3}{2} \\ 2 \\ 1}, [/mm] t [mm] \in \IR [/mm] also [mm] E_{1}=L\{ \vektor{\bruch{3}{2} \\ 2 \\ 1} \}
[/mm]
und analog für die anderen beiden Eigenwerte:
[mm] E_{2}=L\{ \vektor{2 \\ 0 \\ 1} \}
[/mm]
[mm] E_{3}=L\{ \vektor{-1/2 \\ 0 \\ 1} \}
[/mm]
Sind die so richtig berechnet? Bzw, gibts eine Methode mit der ich das selbst pürfen kann?
mfg tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Di 30.12.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
deine Eigenwerte stimmen!
Aber der Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] stimmt nicht.
Dies kannst du auch daran erkennen, das Eigenvektoren von verschiedenen Eigenwerten immer orthogonal zueinander sein müssen. Bei dir ist aber der Eigenvektor [mm] v_{1} [/mm] weder zu [mm] v_{2} [/mm] noch zu [mm] v_{3} [/mm] orthogonal.
Dagegen sind [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] zueinander orthogonal, denn hier stimmen die Eigenvektoren auch.
Gruß,
clwoe
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