Eigenvektoren und -werte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 So 03.10.2004 | | Autor: | Johman |
Hi demnächst habe ich meine mündliche Prüfung in LA, deshalb wollte ich mal hören, was ihr zu der ausführung unten sagen würdet.Wenn ihr einen Fehler entdeckt,oder ergänzungen habt wäre das ganz gross.also schaut einfach mal drüber,was ihr davon haltet.an dieser stelle schon mal ein DANKE an alle die sich die mühe machen.
Also:von vornherein definiere ich [mm] \phi \in [/mm] END(V) und [mm] (\IK) [/mm] als beliebigen Körper
Eigenwerte sind Charakteristika einer Matrix und dienen zur vereinfachung von nxn matrizen.existiert nämlich eine Basis aus Eigenvektoren,so ist eine quadratische Matrix diagonalisierbar und in einfachster gestalt.wichtig hierbei zu erwähnen,dass wir nur (abbildungs)matrizen bezüglich einer basis betrachten,da man anhand 2 verschiedener basen,jede matrix modellieren kann.
eine matrix in diagonalgestalt würde bedeuten, dass auf der diagonalen lediglich werte [mm] \lambda_j [/mm] stehen. da in den spalten die bilder der abbildung bezüglich einer basis stehen, muss gelten:
[mm] \phi(v_j) [/mm] = [mm] \lambda_j [/mm] * [mm] v_j [/mm] für geeignete [mm] \lambda_j [/mm] .
Daraus folgt die definiton der eigenwerte. [mm] \lambda_j [/mm] ist eigenwert von [mm] \phi \in [/mm] END(V) falls es einen Vektor 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in [/mm] V so dass
[mm] \phi(v_j) [/mm] = [mm] \lambda_j [/mm] * [mm] v_j [/mm] gilt. jeder Vektor v der diese gleichung erfüllt heisst eigenvektor zum eigenwert [mm] \lambda [/mm] und [mm] V_\lambda [/mm] = ker( [mm] \phi- \lambda [/mm] * id) also die menge der eigenvektoren zum eigenwert [mm] \lambda [/mm] .
der eigenraum zum eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist linearer teilraum, weil der kern ein Untervektorraum von V ist. Anzahl der der eigenvektoren, also dimension des eigenraums ist die geometrische vielfachheit zum eigenwert [mm] \lambda [/mm] . matrizen von linearen endomorphismen, also quadratische matrizen (da isomorphismus zwischen dem Vektorraum END(V) [mm] \subset [/mm] Hom(V) [mm] \to M_n (\IK) \subset [/mm] M_(m,n) [mm] (\IK) [/mm] ) sind diagonalisierbar, falls basis aus eigenvektoren besteht.
zusammengefasst:
1.) [mm] \lambda [/mm] ist eigenwert von [mm] \phi \gdw [/mm] ( [mm] \phi [/mm] - [mm] \lambda [/mm] * id ) = v hat Lösung 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in [/mm] V [mm] \gdw [/mm] ker( [mm] \phi [/mm] - [mm] \lambda [/mm] * id ) [mm] \not= \{ 0 \}
[/mm]
2.) v ist eigenvektor von [mm] \phi [/mm] bezüglich [mm] \lambda \gdw [/mm] v ist Lösung von
( [mm] \phi [/mm] - [mm] \lambda [/mm] * id ) (v) = 0 mit 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in [/mm] V [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in [/mm] ker( [mm] \phi [/mm] - [mm] \lambda [/mm] * id )
demzufolge ist [mm] \lambda [/mm] genau eigenwert von [mm] \phi [/mm] falls det( [mm] \phi [/mm] - [mm] \lambda [/mm] id) = 0 denn ansonsten wäre ja [mm] \phi [/mm] - [mm] \lambda [/mm] id invertierbar, also injektiv und demzufolge wäre der ker (von [mm] \phi [/mm] - [mm] \lambda [/mm] id ) = [mm] \{0 \} [/mm] .
die transformationsmatrix der basentransformation ist die matrix S mit den eigenvektoren in den spalten.
eigenvektoren zu paarweise verschiedenen eigenwerten sind linear unabhängig, also besitzt A [mm] \in M_n (\IK) [/mm] n verschiedene eigenwerte so sind n eigenvektoren liner unabhängig bilden also eine basis von [mm] M_n (\IK) [/mm]
über die [mm] (\IK) [/mm] - Algebra der formalen polynome in der unbestimmten t haben wir die polynome eingeführt und sind darüber dann zum charakteristischen polynom gekommen.
das charakteristische polynom n-ten grades ist [mm] P_a [/mm] = det(A-tE) wobei t wieder die Unbestimmte des polynoms ist.
Da die bestimmung der eigenwerte von A dem aufstellen des charakteristischen polynoms entspricht, sind die eigenwerte gerade die nullstellen des charakteristischen polynoms und die vielfachheit der nullstelle ist die algebraische vielfachheit. nun können wir also die vorraussetzungen zur diagonalisierbarkeit neu betrachten und sagen, wenn die algebraische vielfachheit mit der geometrischen für jeden eigenwert übereinstimmt, dass A [mm] \in M_n (\IC) [/mm] diagonalisierbar ist, da n linear unabhängige eigenvektoren existieren. also eine basis von [mm] M_n (\IC) [/mm] bilden. deweiteren stellt man fest,dass eine basis existieren muss, falls [mm] P_a [/mm] (t) in n linearfaktoren zerteilbar ist [mm] \gdw [/mm] es gibt n verschiedene nullstellen in [mm] P_a [/mm] (t) [mm] \gdw [/mm] es gibt n verschiedene eigenwerte von A .
wie ich merke habe ich immense probleme meine gedankengänge zu strukturieren und zu artikulieren. deshalb will ich hier erstmal stoppen,bevor ich mich total vertue, hoffe es ist nicht allzu anstrengend das ganze zu lesen....wie gesagt schon mal danke und bis denne
gruss johannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Johman |
super...natürlich hast du recht und ich meinte den nullvektor, denn der ist ja als eigenvektor ausgeschlossen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Johannes!
Ich gebe jetzt mal Kommentare dazu:
> Also:von vornherein definiere ich [mm]\phi \in[/mm] END(V) und
> [mm](\IK)[/mm] als beliebigen Körper
Warum setzt du [mm] $\IK$ [/mm] in Klammern?
> Eigenwerte sind Charakteristika einer Matrix und dienen
> zur vereinfachung von nxn matrizen.
Die Matrizen werden nicht vereinfacht. Stattdessen könnte man schreiben: Da das charakteristische Polynom invariant gegenüber Basistransformationen ist, sind die Eigenwerte für je zwei ähnliche Matrizen gleich. Das Spektrum der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung ist also von der gewählten Basis unabhängig und somt ein Charakteristikum der linearen Abbildung. Existiert nun eine Basis aus Eigenvektoren,...
> ...so ist eine quadratische Matrix
> diagonalisierbar und in einfachster gestalt.
...naja ("einfachste Gestalt", ich weiß nicht, aber von mir aus)...
> wichtig hierbei
> zu erwähnen,dass wir nur (abbildungs)matrizen bezüglich
> einer basis betrachten,da man anhand 2 verschiedener
> basen,jede matrix modellieren kann.
Weglassen, ist völlig unklar und oben von mir strukturierer aufgeschrieben.
> eine matrix in diagonalgestalt würde bedeuten, dass auf
> der diagonalen lediglich werte [mm]\lambda_j[/mm] stehen. da in den
> spalten die bilder der abbildung bezüglich einer basis
> stehen, muss gelten:
> [mm]\phi(v_j)[/mm] = [mm]\lambda_j[/mm] * [mm]v_j[/mm] für geeignete [mm]\lambda_j[/mm] .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Daraus folgt die definiton der eigenwerte. [mm]\lambda_j[/mm] ist
> eigenwert von [mm]\phi \in[/mm] END(V) falls es einen Vektor 0
> [mm]\not=[/mm] v [mm]\in[/mm] V so dass
> [mm]\phi(v_j)[/mm] = [mm]\lambda_j[/mm] * [mm]v_j[/mm] gilt.
> jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor v der diese
> gleichung erfüllt heisst eigenvektor zum eigenwert [mm]\lambda[/mm]
> und [mm]V_\lambda[/mm] = ker( [mm]\phi- \lambda[/mm] * id) also die menge der
> eigenvektoren zum eigenwert [mm]\lambda[/mm] .
> der eigenraum zum eigenwert [mm]\lambda[/mm] ist linearer teilraum,
> weil der kern ein Untervektorraum von V ist. Anzahl der der
> eigenvektoren, also dimension des eigenraums ist die
> geometrische vielfachheit zum eigenwert [mm]\lambda[/mm] . matrizen
> von linearen endomorphismen, also quadratische matrizen (da
> isomorphismus zwischen dem Vektorraum END(V) [mm]\subset[/mm] Hom(V)
> [mm]\to M_n (\IK) \subset[/mm] M_(m,n) [mm](\IK)[/mm] ) sind
> diagonalisierbar, falls basis aus eigenvektoren besteht.
Hier machen die Inklusionsbeziehungen keinen Sinn. Schreibe einfach: ...da es einen kanonischen Isomorphismus zwischen $End(V)$ und [mm] $M_n(\IK)$ [/mm] gibt."
>
> zusammengefasst:
> 1.) [mm]\lambda[/mm] ist eigenwert von [mm]\phi \gdw[/mm] ( [mm]\phi[/mm] - [mm]\lambda[/mm] *
> id ) = v hat Lösung 0
Hatte Paul schon verbessert...
[mm]\not=[/mm] v [mm]\in[/mm] V [mm]\gdw[/mm] ker( [mm]\phi[/mm] -
> [mm]\lambda[/mm] * id ) [mm]\not= \{ 0 \}
[/mm]
> 2.) v ist eigenvektor von
> [mm]\phi[/mm] bezüglich [mm]\lambda \gdw[/mm] v ist Lösung von
> ( [mm]\phi[/mm] - [mm]\lambda[/mm] * id ) (v) = 0 mit 0 [mm]\not=[/mm] v [mm]\in[/mm] V [mm]\gdw[/mm] 0
> [mm]\not=[/mm] v [mm]\in[/mm] ker( [mm]\phi[/mm] - [mm]\lambda[/mm] * id )
> demzufolge ist [mm]\lambda[/mm] genau eigenwert von [mm]\phi[/mm] falls det(
> [mm]\phi[/mm] - [mm]\lambda[/mm] id) = 0 denn ansonsten wäre ja [mm]\phi[/mm] -
> [mm]\lambda[/mm] id invertierbar, also injektiv und demzufolge wäre
> der ker (von [mm]\phi[/mm] - [mm]\lambda[/mm] id ) = [mm]\{0 \}[/mm] .
>
> die transformationsmatrix der basentransformation ist die
> matrix S mit den eigenvektoren in den spalten.
>
> eigenvektoren zu paarweise verschiedenen eigenwerten sind
> linear unabhängig, also besitzt A [mm]\in M_n (\IK)[/mm] n
> verschiedene eigenwerte so sind n eigenvektoren liner
> unabhängig bilden also eine basis von [mm]M_n (\IK)[/mm]
> über die [mm](\IK)[/mm] - Algebra der formalen polynome in der
> unbestimmten t haben wir die polynome eingeführt und sind
> darüber dann zum charakteristischen polynom gekommen.
> das charakteristische polynom n-ten grades ist [mm]P_a[/mm] =
> det(A-tE) wobei t wieder die Unbestimmte des polynoms
> ist.
> Da die bestimmung der eigenwerte von A dem aufstellen des
> charakteristischen polynoms entspricht, sind die eigenwerte
> gerade die nullstellen des charakteristischen polynoms und
> die vielfachheit der nullstelle ist die algebraische
> vielfachheit. nun können wir also die vorraussetzungen zur
> diagonalisierbarkeit neu betrachten und sagen, wenn die
> algebraische vielfachheit mit der geometrischen für jeden
> eigenwert übereinstimmt, dass A [mm]\in M_n (\IC)[/mm]
> diagonalisierbar ist, da n linear unabhängige eigenvektoren
> existieren. also eine basis von [mm]M_n (\IC)[/mm] bilden.
Hier würde ich etwas weit ausholen und zunächst mal erwähnen, dass i.A. die geometrische Vielfachheit kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit ist und dies auch begründen.
> deweiteren stellt man fest,dass eine basis existieren
> muss, falls [mm]P_a[/mm] (t) in n linearfaktoren zerteilbar ist
> [mm]\gdw[/mm] es gibt n verschiedene nullstellen in [mm]P_a[/mm] (t) [mm]\gdw[/mm] es
> gibt n verschiedene eigenwerte von A .
Das hatten wir schon mal weiter oben.
Vielleicht kannst du ja noch etwas aus ![[]](/images/popup.gif) diesem Super-Artikel übernehmen.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Johman |
danke julius , das hat mir sehr geholfen.
der artikel ist bestens verständlich.
gruss johannes
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
