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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mi 09.11.2011 | | Autor: | qed |
| Aufgabe | Sei [mm]V=\IR^3[/mm] und seien [mm]U, W[/mm] Unterräume von [mm]V[/mm].
Sei [mm](\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})[/mm] eine Basis von [mm]U[/mm] und [mm](\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})[/mm] eine Basis von [mm]W[/mm].
Sei [mm]f \in End(V)[/mm] definiert durch [mm]f(v)=u[/mm] für [mm]v=u+w[/mm] für [mm]u\in U, w\in W[/mm].
a) Berechnen Sie eine Basis [mm]B[/mm] von [mm]V[/mm] aus Eigenvektoren von [mm]f[/mm].
b) Berechnen Sie die Matrixdarstellung von [mm]f[/mm] bezüglich der Basis [mm]B[/mm]. |
Hallo,
komme hier irgendwie nicht weiter.
b) ist klar, aber a):
Es ist doch [mm]Bild(f) = U[/mm]. Damit kann ich [mm]f(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} a+b \\ -a \\ b \end{pmatrix}[/mm] setzen. Jetzt will ich die Eigenwerte von [mm]f[/mm] berechnen, also erstmal das Charakteristische Polynom von [mm]f[/mm]. Hierzu berechne ich das Charakteristische Polynom der Darstellungsmatrix von [mm]f[/mm] bezüglich der Standartbasis von V:
[mm]p=det\begin{pmatrix}
X-1 & -1 & 0 \\
1 & X & 0 \\
0 & -1 & X
\end{pmatrix}=X(X^{2}-X+1)[/mm]. Die einzige reele Nullstelle von p ist 0 und [mm](\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})[/mm] ist eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert 0. Hiermit kann ich natürlich nichts anfangen.
Wo kommt hier W ins Spiel? Wenn ich eine andere als die Standartbasis von [mm]\IR^3[/mm] nehme, erhalte ich auch den Eigenwert 0, nur dann mit Vielfachheit größer 1.
Irgendwo mache ich doch einen gravierenden Fehler!
Bin für jeden Hinweis sehr dankbar.
Viele Grüße
qed
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V=\IR^3[/mm] und seien [mm]U, W[/mm] Unterräume von [mm]V[/mm].
> Sei [mm](\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})[/mm]
> eine Basis von [mm]U[/mm] und [mm](\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})[/mm]
> eine Basis von [mm]W[/mm].
> Sei [mm]f \in End(V)[/mm] definiert durch [mm]f(v)=u[/mm] für [mm]v=u+w[/mm] für
> [mm]u\in U, w\in W[/mm].
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> a) Berechnen Sie eine Basis [mm]B[/mm] von [mm]V[/mm] aus Eigenvektoren von
> [mm]f[/mm].
> b) Berechnen Sie die Matrixdarstellung von [mm]f[/mm] bezüglich
> der Basis [mm]B[/mm].
> Hallo,
>
> komme hier irgendwie nicht weiter.
>
> b) ist klar, aber a):
>
> Es ist doch [mm]Bild(f) = U[/mm]. Damit kann ich [mm]f(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} a+b \\ -a \\ b \end{pmatrix}[/mm]
> setzen. Jetzt will ich die Eigenwerte von [mm]f[/mm] berechnen, also
> erstmal das Charakteristische Polynom von [mm]f[/mm]. Hierzu
> berechne ich das Charakteristische Polynom der
> Darstellungsmatrix von [mm]f[/mm] bezüglich der Standartbasis von
> V:
> [mm]p=det\begin{pmatrix}
X-1 & -1 & 0 \\
1 & X & 0 \\
0 & -1 & X
\end{pmatrix}=X(X^{2}-X+1)[/mm].
> Die einzige reele Nullstelle von p ist 0 und
> [mm](\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})[/mm] ist eine Basis
> des Eigenraums zum Eigenwert 0. Hiermit kann ich natürlich
> nichts anfangen.
>
> Wo kommt hier W ins Spiel? Wenn ich eine andere als die
> Standartbasis von [mm]\IR^3[/mm] nehme, erhalte ich auch den
> Eigenwert 0, nur dann mit Vielfachheit größer 1.
> Irgendwo mache ich doch einen gravierenden Fehler!
>
> Bin für jeden Hinweis sehr dankbar.
Mann o mann, man kann sich das Leben auch künstlich schwer machen !
(oben stimmt einiges nicht)
Setze
[mm] u_1:=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},
[/mm]
[mm] u_2:=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] w:=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Mach Dir folgendes Klar:
[mm] B:=\{u_1,u_2,w\} [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^3,
[/mm]
[mm] f(u_1)=u_1=1*u_1, f(u_2)=u_2=1*u_2 [/mm] und $f(w)=0=0*w$
FRED
>
>
> Viele Grüße
>
> qed
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Mi 09.11.2011 | | Autor: | qed |
> Mann o mann, man kann sich das Leben auch künstlich schwer
> machen !
>
> (oben stimmt einiges nicht)
>
> Setze
>
> [mm]u_1:=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},[/mm]
>
> [mm]u_2:=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]w:=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Mach Dir folgendes Klar:
>
> [mm]B:=\{u_1,u_2,w\}[/mm] ist eine Basis des [mm]\IR^3,[/mm]
>
> [mm]f(u_1)=u_1=1*u_1, f(u_2)=u_2=1*u_2[/mm] und [mm]f(w)=0=0*w[/mm]
>
>
> FRED
Danke FRED,
für den "Schlag auf den Hinterkopf".
Habe mir nochmal die Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren angeschaut. Nun ist klar:
[mm]u_1[/mm] ist Eigenvektor von [mm]f[/mm] zum Eigenwert 1,
[mm]u_2[/mm] ist Eigenvektor von [mm]f[/mm] zum Eigenwert 1 und
[mm]w[/mm] ist Eigenvektor von [mm]f[/mm] zum Eigenwert 0.
Da [mm]\{u_1,u_2,w\}[/mm] eine Basis von [mm]\IR^3[/mm] ist, habe ich eine Basis von V aus Eigenvektoren von [mm]f[/mm] gefunden.
Vielen Dank nochmal.
Grüße
qed
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