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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwert
Eigenwert < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwert: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Mi 27.04.2005
Autor: Esra


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Hallo Leute,
ich habe hier ein problem mit einer teilaufgabe undzwar lautet sie :

a) Sind f,g:V [mm] \to [/mm] V lineare Abbildungen mit fg = gf, so ist P( f,a ) ein g-stabiler Unterraum für jeden Eigenwert a von f.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, die anderen Teilaufgaben von der aufgabe habe ich einigermaßen schon hin  gekriegt aber bei dierser...:-((

danke im Vorraus!!!

        
Bezug
Eigenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Mi 27.04.2005
Autor: Julius

Hallo Esra!

Ist $P(f;a)$ der Eigenraum von $f$ zu Eigenwert $a$?

Dann scheint mir die Aufgabe einfach.

Ist $x [mm] \in [/mm] P(f;a)$, so gilt: $f(x)=ax$.

Weiterhin gilt:

$f(g(x)) = g(f(x)) = g(ax) = ag(x)$,

also auch: $g(x) [mm] \in [/mm] P(f;a)$.

Oder wie war die Aufgabe zu verstehen?

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Eigenwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 Mi 27.04.2005
Autor: freaKperfume

Hallo,

Der Hauptraum ist gemeint, nicht der Eigenraum.

- Marcel

Bezug
        
Bezug
Eigenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Do 28.04.2005
Autor: moudi

Hallo Esra

Julius hat gezeigt, wenn die linearen Selbstabbildungen f, g kommutieren, dann ist jeder Eigenraum von f ein invarianter Unterraum von g.

Das kann man leicht verallgemeinern zum Hauptraum von f. Sei a Eigenwert von f und k genug gross (z.B. k=dim V), dann ist der Hauptraum der Kern der Abbildung [mm] $f^\ast=(f-a\cdot Id)^k$, [/mm] wobei Id die Identitätsabbildung ist. Nun ist der Kern nichts anderes als der Eigenraum zum Eigenwert 0.

Also betrachtet man jetzt statt f und g die Abbildungen [mm] $f^\ast$ [/mm] und g. Es ist klar, wenn f und g kommutieren, dann auch [mm] $f-a\cdot [/mm] Id$ und g, dann auch [mm] $(f-a\cdot Id)^k$ [/mm] und g.
Also, wenn f ung g kommutieren, dann auch [mm] $f^\ast$ [/mm] und g.

Jetzt schliesst man (aus dem von Julius gezeigten), dass der Eigenraum von [mm] $f^\ast$ [/mm] zum Eigenwert 0 ein g-invarianter Unterraum ist, aber das ist gerade der Hauptraum zum Eigenwert a.

mfG Moudi


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