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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwert:Basis d. Eigenraumes
Eigenwert:Basis d. Eigenraumes < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwert:Basis d. Eigenraumes: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 So 12.12.2010
Autor: bobbert

Aufgabe
Bestimmen Sie die Eigenwerte d. Matrix
[mm] \pmat{ 3 &- 2 & 2\\ 2 & - 1 & 2\\-3 & 2 & -1\\} [/mm]
und zu jedem Eigenwert eine Basis des Eigenraumes: (a) über [mm] \IR [/mm] (b) über [mm] \IC. [/mm]

Hi habe eine Frage zu den Eigenräumen:

Habe als Eigenwerte [mm] \lambda_3= [/mm] 1 , [mm] \lambda_2= [/mm] i [mm] ,\lambda_1= [/mm] -i  berechnet.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Nun will ich die Eigenräume bestimmen mit [mm] \lambda_2= [/mm] i
(1)I-A= [mm] \pmat{ i-3 & 2 & -2 & (+III)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\} [/mm]

=  [mm] \pmat{ i & 0 & i-1 & *(-i)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\} [/mm]
=  [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \\ -2 & i+1 & -2 &(+2I) \\ 3 & -2 & i+1&(-3I)\\} [/mm]



=  [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& i+1 & -2 & *(i)\\ 0 & -2 & i+1 & *(i)\\} [/mm]
=  [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & -2i & *(i)\\ 0 & -2i & 0 & *(i)\\} [/mm]
=  [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & -3 & *(/-3)\\ 0 & -3 & 0 & /(-3) tausche I mit II\\} [/mm]
=  [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\} [/mm]


Wieso kommt hier eine Perfekte Einheitsmatrix raus?
Ich will hier aber eine Lineare Hülle herausbekommen:
beipielsweise [mm] E(i)=\vektor{x _1\\x_2 \\x_3} =\vektor{-i+1x _3\\1x_3 \\1x_3} [/mm]  = [mm] x_3 \vektor{-i+1\\1 \\1}oder [/mm] ähnliches.
Was habe ich falsch gemacht?



        
Bezug
Eigenwert:Basis d. Eigenraumes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:42 So 12.12.2010
Autor: bobbert

Ich habe diese Frage nirgendwo anders gepostet.

Vielen Dank im Voraus für die Antwort!

Bezug
                
Bezug
Eigenwert:Basis d. Eigenraumes: Offene Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:53 So 12.12.2010
Autor: bobbert

Aufgabe
Offene Frage

Offene Frage

Bezug
        
Bezug
Eigenwert:Basis d. Eigenraumes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 So 12.12.2010
Autor: MathePower

Hallo bobbert,

> Bestimmen Sie die Eigenwerte d. Matrix
>  [mm]\pmat{ 3 &- 2 & 2\\ 2 & - 1 & 2\\-3 & 2 & -1\\}[/mm]
>  und zu
> jedem Eigenwert eine Basis des Eigenraumes: (a) über [mm]\IR[/mm]
> (b) über [mm]\IC.[/mm]
>  Hi habe eine Frage zu den Eigenräumen:
>
> Habe als Eigenwerte [mm]\lambda_3=[/mm] 1 , [mm]\lambda_2=[/mm] i [mm],\lambda_1=[/mm]
> -i  berechnet.


[ok]


>  
> --------------------------------------------------------------------------------------------------
>  Nun will ich die Eigenräume bestimmen mit [mm]\lambda_2=[/mm] i
>  (1)I-A= [mm]\pmat{ i-3 & 2 & -2 & (+III)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\}[/mm]
>  
>  
> =  [mm]\pmat{ i & 0 & i-1 & *(-i)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\}[/mm]
>  
>  =  [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \\ -2 & i+1 & -2 &(+2I) \\ 3 & -2 & i+1&(-3I)\\}[/mm]
>  


Hier muss stehen:

[mm]\pmat{ 1 & 0 & \red{i+1} & \\ -2 & i+1 & -2 &(+2I) \\ 3 & -2 & i+1&(-3I)\\}[/mm]


>
>
> =  [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& i+1 & -2 & *(i)\\ 0 & -2 & i+1 & *(i)\\}[/mm]
>  
> =  [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & -2i & *(i)\\ 0 & -2i & 0 & *(i)\\}[/mm]
>  
>  =  [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & -3 & *(/-3)\\ 0 & -3 & 0 & /(-3) tausche I mit II\\}[/mm]
>  
> =  [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\}[/mm]
>  
>
> Wieso kommt hier eine Perfekte Einheitsmatrix raus?
> Ich will hier aber eine Lineare Hülle herausbekommen:
> beipielsweise [mm]E(i)=\vektor{x _1\\x_2 \\x_3} =\vektor{-i+1x _3\\1x_3 \\1x_3}[/mm]
>  = [mm]x_3 \vektor{-i+1\\1 \\1}oder[/mm] ähnliches.
> Was habe ich falsch gemacht?
>

Siehe oben.


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Eigenwert:Basis d. Eigenraumes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 So 12.12.2010
Autor: bobbert

Hallo MathePower ,

vielen Dank für deine Antwort.

> > =  [mm]\pmat{ i & 0 & i-1 & *(-i)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\}[/mm]
>  
> Hier muss stehen:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & \red{i+1} & \\ -2 & i+1 & -2 &(+2I) \\ 3 & -2 & i+1&(-3I)\\}[/mm]

Aber (i-1) * (-1) sind doch (1-1) = 0  






Bezug
                        
Bezug
Eigenwert:Basis d. Eigenraumes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 So 12.12.2010
Autor: MathePower

Hallo bobbert,


> Hallo MathePower ,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>  
> > > =  [mm]\pmat{ i & 0 & i-1 & *(-i)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\}[/mm]
>  
> >  

> > Hier muss stehen:
>  >  
> > [mm]\pmat{ 1 & 0 & \red{i+1} & \\ -2 & i+1 & -2 &(+2I) \\ 3 & -2 & i+1&(-3I)\\}[/mm]
>  
> Aber (i-1) * (-1) sind doch (1-1) = 0  
>


Nein.

[mm]\left(i-1\right)*\left(-i\right)=i*\left(-i\right)-1*\left(-i\right)=-i^{2}+i=1+i[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Eigenwert:Basis d. Eigenraumes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:19 So 12.12.2010
Autor: bobbert

Ohhh man!  Vollkommen richtig ! Meine Güte... Vielen Dank ! : )

Bezug
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