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| Aufgabe 1 | Aufgabe 1: Sei c [mm] \in [/mm] [0,1] beliebig.Berechnen Sie die Eigenwerte und -vektoren von
[mm] A=\pmat{ 1 & c & 0 \\ c & 1 & c \\ 0 & c & 1} \in [/mm] m(3x3,R).
Geben Sie das kleinste Intervall an, so dass alle Eigenwerte für ein beliebiges c in diesem Intervall liegen. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 2: Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der reellen nxn-Matrix
[mm] J:=\pmat{ n & 1 & ... & ... & 0 \\ 0 & n & 1 & ... & ... \\ 0 & ... & n & ... & .... \\ ... & ... & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... & n}
[/mm]
Überprüfen Sie für die Matrix J rechnerisch die Gültigkeit des Satzes von Cayley-Hamilton. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
zu Aufgabe 1:
Also ich dachte ich rechne erstmal [mm] det(T\*I-A) [/mm] aus, weil dessen Nullstellen ja die Eigenwerte von A sind. Soweit so gut. Ich hab dann rausbekommen
det [mm] \pmat{ (T-1 & -c & 0 \\ -c & (T-1) & -c \\ 0 & -c & (T-1) }
[/mm]
Dann hab ich mir der REgel von Sarrus die Determinante berechnet.
Da bekomme ich raus: [mm] T^{3} -3T^{2} +3T-2Tc^{2}+2c^{2}-1.
[/mm]
Und jetzt weiss ich irgendwie nicht weiter. Was mache ich denn als nächstes? Wie komme ich auf die Nullstellen?
Zur Aufgabe 2:
Dort müsste die Determinante doch eigentlich einfach [mm] (T-1)^{n} [/mm] sein, oder? Und damit ist n eine Nullstelle und der Eigenwert von J, oder hab ich da einen Denkfehler drin?
Freue mich über jede Hilfe!
Vielen Dank schon mal!
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Hallo NivisPluma,
> Aufgabe 1: Sei c [mm]\in[/mm] [0,1] beliebig.Berechnen Sie die
> Eigenwerte und -vektoren von
> [mm]A=\pmat{ 1 & c & 0 \\
c & 1 & c \\
0 & c & 1} \in[/mm]
> m(3x3,R).
> Geben Sie das kleinste Intervall an, so dass alle
> Eigenwerte für ein beliebiges c in diesem Intervall
> liegen.
> Aufgabe 2: Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren
> der reellen nxn-Matrix
>
> [mm]J:=\pmat{ n & 1 & ... & ... & 0 \\
0 & n & 1 & ... & ... \\
0 & ... & n & ... & .... \\
... & ... & ... & ... & ...\\
... & ... & ... & ... & 1 \\
... & ... & ... & ... & n}[/mm]
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> Überprüfen Sie für die Matrix J rechnerisch die
> Gültigkeit des Satzes von Cayley-Hamilton.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> zu Aufgabe 1:
> Also ich dachte ich rechne erstmal [mm]det(T\*I-A)[/mm] aus, weil
> dessen Nullstellen ja die Eigenwerte von A sind. Soweit so
> gut. Ich hab dann rausbekommen
> det [mm]\pmat{ (T-1 & -c & 0 \\
-c & (T-1) & -c \\
0 & -c & (T-1) }[/mm]
>
> Dann hab ich mir der REgel von Sarrus die Determinante
> berechnet.
> Da bekomme ich raus: [mm]T^{3} -3T^{2} +3T-2Tc^{2}+2c^{2}-1.[/mm]
>
> Und jetzt weiss ich irgendwie nicht weiter.
Das kommt davon, wenn man alles wie wild ausmultipliziert anstatt zu faktorisieren.
Sarrus liefert dir doch schon eine NST gratis!
[mm]Det=(T-1)^3-2c^2(T-1)[/mm] nach Sarrus
[mm]=(T-1)\cdot{}\left[(T-1)^2-2c^2\right][/mm]
Also [mm]T=1[/mm] oder ... quadrat. Ergänzung oder was auch immer
> Was mache ich
> denn als nächstes? Wie komme ich auf die Nullstellen?
> Zur Aufgabe 2:
> Dort müsste die Determinante doch eigentlich einfach
> [mm](T-1)^{n}[/mm] sein, oder?
Eher [mm](T-n)^n[/mm], das ist ja eine Dreiecksmatrix, also Det=Produkt der Hauptdiagonaleinträge
> Und damit ist n eine Nullstelle und
> der Eigenwert von J, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") oder hab ich da einen Denkfehler drin?
>
> Freue mich über jede Hilfe!
> Vielen Dank schon mal!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Do 25.11.2010 | | Autor: | NivisPluma |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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