Eigenwert,Isomorphismus < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Do 06.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei [mm] \psi: [/mm] V -> W ein linearer Isomorphismus
[mm] \phi: [/mm] V -> V
[mm] \psi \circ \phi \circ \psi^{-1} [/mm] : W->W
Ist [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von [mm] \phi [/mm] <=> [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von [mm] \psi \circ \phi \circ \psi^{-1} [/mm] |
[mm] \lambda [/mm] Eigenwert von [mm] \phi [/mm]
d.h. [mm] \exists v\not=0 \in [/mm] V sodass
[mm] \phi(v) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] v
Wisst ihr wie ich das mache?
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Do 06.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Alles ok bis hierhin. Weil [mm] \psi [/mm] nun bijektiv ist. gibt es ein [mm] $w\in [/mm] W$ mit [mm] \psi^{-1}(w)=v. [/mm] Setze dieses w mal in [mm] \psi\circ\varphi\circ\psi^{-1} [/mm] ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Do 06.09.2012 | | Autor: | quasimo |
ah danke ;=)
LG,
quasimo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Do 06.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Eine Frage hab ich noch dazu also ich weiß nun:
Ist $ [mm] \lambda [/mm] $ Eigenwert von $ [mm] \phi [/mm] $ <=> $ [mm] \lambda [/mm] $ Eigenwert von $ [mm] \psi \circ \phi \circ \psi^{-1} [/mm] $
und was wir in der Vorlesung bewiesen haben:
v Eigenwert von [mm] \phi [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] <=> [mm] \psi(v) [/mm] Eigenvektor von [mm] \psi \circ \phi \circ \psi^{-1} [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda
[/mm]
Gilt dann auch?:
[mm] \phi [/mm] diagonalisierbar <=> [mm] \psi \circ \phi \circ \psi^{-1} [/mm] diagonalisierbar
[mm] \phi [/mm] ist diagonalisierbar, dann existiert eine Basis von V, die aus Eigenvektoren von [mm] \phi [/mm] besteht. dann existiert automatisch auch eine Basis von W die aus eigenvektoren besteht und umgekehrt oder?
Hab ich mich da falsch ausgedrückt?
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> Gilt dann auch?:
> [mm]\phi[/mm] diagonalisierbar <=> [mm]\psi \circ \phi \circ \psi^{-1}[/mm]
> diagonalisierbar
> [mm]\phi[/mm] ist diagonalisierbar, dann existiert eine Basis von
> V, die aus Eigenvektoren von [mm]\phi[/mm] besteht. dann existiert
> automatisch auch eine Basis von W die aus eigenvektoren
> besteht und umgekehrt oder?
> Hab ich mich da falsch ausgedrückt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Weißt du bereits, dass jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen eine eindeutige Abbildungsmatrix besitzt?
Wenn du weißt wie Diagonalsierbarkeit für Matrizen definiert ist dürfte es noch etwas klarer werden. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Do 06.09.2012 | | Autor: | quasimo |
danke ist klar ;)
LG
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