Eigenwert einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Mo 08.08.2011 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Eigenwert der Matrix:
[mm] $\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 2 }$ [/mm] |
Hallo nochmal,
habe mir dazu einige Videos im Internet angeschaut und recherchiert, jedoch finde ich das ganze Verfahren etwas kompliziert. In unserem Lösungsbuch ist die Lösung ein Einzeiler, jedoch für mich nicht verständlich genug.
Ich weiß, dass die Formel wie folgt lautet:
$ [mm] det(A-\lambda [/mm] E)=0 $
Das müsste im Weiteren folgendes Bedeuten:
$ [mm] det(\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 2 }-\lambda [/mm] E)=0$
$ [mm] det(\pmat{ 1-\lambda & -1 \\ 0 & 2-\lambda })=0$
[/mm]
$ [mm] ((1-\lambda) \cdot (2-\lambda))=0 [/mm] $
Nun weiß ich jedoch nicht mehr weiter.
Habt ihr einen Tipp?
Gruß und Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mo 08.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für eine 2x2-Matrix
[mm] A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} [/mm]
gilt:
[mm] det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
[/mm]
Also in deinem Fall:
$ [mm] \det\left(\pmat{ 1-\lambda & -1 \\ 0 & 2-\lambda }\right)=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow (1-\lambda)(2-\lambda)-0=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow (1-\lambda)(2-\lambda)=0 [/mm] $
Diese Gleichung musst du nun nach [mm] \lambda [/mm] lösen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mo 08.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Achso, okay. Also:
$ [mm] 2-\lambda-2\lambda+\lambda^2=0 [/mm] $
$ [mm] \lambda^2-3\lambda+2=0 [/mm] $
Dann pq-Formel.
$ [mm] \lambda_1 [/mm] = 2 $ $ [mm] \lambda_2=1 [/mm] $
Das stimmt auch mit dem Lösungsbuch überein.
Stimmt alles oder?
Gruß und Danke 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mo 08.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Achso, okay. Also:
>
> [mm]2-\lambda-2\lambda+\lambda^2=0[/mm]
> [mm]\lambda^2-3\lambda+2=0[/mm]
>
> Dann pq-Formel.
>
> [mm]\lambda_1 = 2[/mm] [mm]\lambda_2=1[/mm]
>
> Das stimmt auch mit dem Lösungsbuch überein.
>
> Stimmt alles oder?
Ja, aber brauchst Du für die Gleichung
[mm] $(1-\lambda)(2-\lambda)=0$
[/mm]
wirklich die pq-Formel ..... ?
Wenn ich Dir die Gleichung
[mm] (1-\lambda)(1+\lambda)(4-\lambda)(178+\lambda)=0
[/mm]
vorlege, was machst Du dann ?
Ein Produkt ist =0 , wenn ..... ???
FRED
>
> Gruß und Danke
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mo 08.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> Ja, aber brauchst Du für die Gleichung
>
> [mm](1-\lambda)(2-\lambda)=0[/mm]
>
> wirklich die pq-Formel ..... ?
>
> Wenn ich Dir die Gleichung
>
> [mm](1-\lambda)(1+\lambda)(4-\lambda)(178+\lambda)=0[/mm]
>
> vorlege, was machst Du dann ?
>
> Ein Produkt ist =0 , wenn ..... ???
Ähm...? Öh...? Also es gibt sicher noch andere Wege... Ist ja eigentlich nur eine Nullstellenberechnung...
Ich weiß aber leider nicht genau worauf du anspielen möchtest *schäm* :-(
Auserdem stellt sich mir noch die Frage, wie ich den Eigenvektor davon berechne?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Mo 08.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
> > Ja, aber brauchst Du für die Gleichung
> >
> > [mm](1-\lambda)(2-\lambda)=0[/mm]
> >
> > wirklich die pq-Formel ..... ?
> >
> > Wenn ich Dir die Gleichung
> >
> > [mm](1-\lambda)(1+\lambda)(4-\lambda)(178+\lambda)=0[/mm]
> >
> > vorlege, was machst Du dann ?
> >
> > Ein Produkt ist =0 , wenn ..... ???
>
> Ähm...? Öh...? Also es gibt sicher noch andere Wege...
> Ist ja eigentlich nur eine Nullstellenberechnung...
> Ich weiß aber leider nicht genau worauf du anspielen
> möchtest *schäm* :-(
Setz den Satz "Ein Produkt nimmt genau dann den Wert Null an, wenn einer der Faktoren..." mal fort.
>
> Auserdem stellt sich mir noch die Frage, wie ich den
> Eigenvektor davon berechne?
Gibt es Vektoren, die folgende Bedingungen erfüllen?
$ [mm] \begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix} [/mm] $
(Eigenvektoren zu [mm] \lambda=2 [/mm] )
$ [mm] \begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix} [/mm] $
(Eigenvektoren zu [mm] \lambda=1 [/mm] )
>
> Gruß
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Mo 08.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> Setz den Satz "Ein Produkt nimmt genau dann den Wert Null
> an, wenn einer der Faktoren..." mal fort.
...null ist. Aber ist einer der Faktoren 0 ? Weiß nicht so recht, wass ich mit dem Satz anfangen soll...
Gruß
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Hallo Haiza,
>
> > Setz den Satz "Ein Produkt nimmt genau dann den Wert Null
> > an, wenn einer der Faktoren..." mal fort.
>
> ...null ist. Aber ist einer der Faktoren 0 ?
Du musst überlegen, für welche [mm]\lambda\in\IR[/mm] denn [mm](1-\lambda)\cdot{}(2-\lambda)=0[/mm] ist!?
Der erste Faktor wird Null für [mm]\lambda=...[/mm], der zweite Faktor für [mm]\lambda=...[/mm]
Das sind deine Eigenwerte ...
> Weiß nicht so
> recht, wass ich mit dem Satz anfangen soll...
Na, direkt übertragen auf deine Gleichung [mm](1-\lambda)\cdot{}(2-\lambda)=0[/mm]
>
> Gruß
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Mo 08.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> Der erste Faktor wird Null für [mm]\lambda=...[/mm], der zweite
> Faktor für [mm]\lambda=...[/mm]
Ahhhh... also 1 und 2 . Stimmt macht Sinn.
Danke! Danke auch für deine Ergänzungsantwort mit dem Ablesen der Diagonalen. Danke.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mo 08.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> >
> > Auserdem stellt sich mir noch die Frage, wie ich den
> > Eigenvektor davon berechne?
>
> Gibt es Vektoren, die folgende Bedingungen erfüllen?
>
> [mm]\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}[/mm]
> (Eigenvektoren zu [mm]\lambda=2[/mm] )
>
>
> [mm]\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}[/mm]
> (Eigenvektoren zu [mm]\lambda=1[/mm] )
So habe mich jetzt nochmal versucht damit auseinander zu setzen. Habe mir ein Mathevideo dazu angeschaut und kam auf folgenden Weg für die oben stehende Aufgabe und ihren Eigenvektoren.
Zu $ [mm] \lambda_1 [/mm] = 2 $:
$ (A + [mm] \lambda_1 \cdot [/mm] E) [mm] \cdot \overrightarrow{x} [/mm] $
$ [mm] (\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 2 } [/mm] + 2 [mm] \cdot \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 })\overrightarrow{x} [/mm] $
$ [mm] 2x_1 [/mm] - [mm] x_2=0 [/mm] $
$ [mm] 4x_2=0 [/mm] $
Nun habe ich im Netz gesehen, dass jetzt ein Faktor für z.B. [mm] $x_2$ [/mm] zu wählen ist. Sagen wir ich nehme die 1. Dann ergibt die obere Gleichung:
$ [mm] 2x_1 [/mm] = 1 $
$ [mm] x_1 [/mm] = 0,5 $
Scheint mir nicht korrekt und deckt sich auch nicht mit den Lösungen aus dem Lösungsbuch.
Habt ihr einen Tipp?
Gruß und Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mo 08.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > >
> > > Auserdem stellt sich mir noch die Frage, wie ich den
> > > Eigenvektor davon berechne?
> >
> > Gibt es Vektoren, die folgende Bedingungen erfüllen?
> >
> >
> [mm]\begin{pmatrix}1&-1\\
0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\end{pmatrix}[/mm]
> > (Eigenvektoren zu [mm]\lambda=2[/mm] )
> >
> >
> >
> [mm]\begin{pmatrix}1&-1\\
0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\end{pmatrix}[/mm]
> > (Eigenvektoren zu [mm]\lambda=1[/mm] )
>
> So habe mich jetzt nochmal versucht damit auseinander zu
> setzen. Habe mir ein Mathevideo dazu angeschaut und kam auf
> folgenden Weg für die oben stehende Aufgabe und ihren
> Eigenvektoren.
> Zu [mm]\lambda_1 = 2 [/mm]:
> [mm](A + \lambda_1 \cdot E) \cdot \overrightarrow{x} [/mm]
>
> [mm](\pmat{ 1 & -1 \\
0 & 2 } + 2 \cdot \pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 })\overrightarrow{x}[/mm]
>
> [mm]2x_1 - x_2=0[/mm]
> [mm]4x_2=0[/mm]
>
Hier fehlt das =0 am Ende der Gleichung.
> Nun habe ich im Netz gesehen, dass jetzt ein Faktor für
> z.B. [mm]x_2[/mm] zu wählen ist. Sagen wir ich nehme die 1. Dann
> ergibt die obere Gleichung:
> [mm]2x_1 = 1[/mm]
> [mm]x_1 = 0,5[/mm]
>
Den Link würde ich gerne mal sehen, hier hast du nämlich einen Sonderfall, dass in der zweiten Gleichung nur noch die Variable [mm] x_{2} [/mm] vorkommt, und daraus folgt hier [mm] x_{2}=0 [/mm] und damit auch [mm] x_{1}=0. [/mm] Das würde aber zum Nullvektor als Eigenvektor führen, was nicht sein darf.
Genau das ist das Problem, wenn ich den Weg $(A + [mm] \lambda_1 \cdot [/mm] E) [mm] \cdot \overrightarrow{x}=0 [/mm] $ nehme, dann kann genau das passieren.
Aus
[mm] $\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$
[/mm]
folgt:
[mm] \begin{pmatrix}x_{1}-x_{2}\\2x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_{1}\\2x_{2}\end{pmatrix}
[/mm]
Daraus folgt folgendes Gleichungssystem:
[mm] \begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}=2x_{1}\\2x_{2}=2x_{2}\end{vmatrix}
[/mm]
Nun ist die zweite Zeile eine wahre Aussage, also betrachten wir die erste Zeile:
[mm] x_{1}-x_{2}=2x_{1}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow -x_{2}=x_{1}
[/mm]
Das heißt, jeder Vektor, der diese Bedingung erfüllt, ist Eigenvektor zu [mm] \lambda=2, [/mm] also kann man diese Vektoren wie folgt darstellen:
[mm] \vektor{\alpha\\-\alpha} [/mm] für [mm] \alpha\ne0 [/mm] .
Für die Eigenvektoren zum Eingenwert [mm] \lambda=1 [/mm] gilt:
[mm] \begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}=x_{1}\\2x_{2}=x_{2}\end{vmatrix}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \begin{vmatrix}-x_{2}=0\\x_{2}=0\end{vmatrix}
[/mm]
Und dieses Gleichungssystem hat folgende Vektoren als Lösung
[mm] \vektor{\alpha\\0} [/mm] für [mm] \alpha\ne0.
[/mm]
> Scheint mir nicht korrekt und deckt sich auch nicht mit den
> Lösungen aus dem Lösungsbuch.
>
> Habt ihr einen Tipp?
>
> Gruß und Danke!
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mo 08.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Hui, scheint mir doch noch kompliziert und das Lösungsbuch sagt was anderes. Folgendes steht als Lösung im Lösungsbuch bzw. Anhang (Lothar Papula Band 2):
$ [mm] x_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 } [/mm] $
$ [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 \\ -1 } [/mm] $
Bin jetzt etwas verwirrt durch die verschieden Lösungswege sowie die verschiedenen Lösungen...
Gruß und Danke.
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Hallo nochmal,
> Hui, scheint mir doch noch kompliziert und das Lösungsbuch
> sagt was anderes. Folgendes steht als Lösung im
> Lösungsbuch bzw. Anhang (Lothar Papula Band 2):
> [mm]x_1 = \pmat{ 1 \\
0 }[/mm]
> [mm]x_2 = \bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 \\
-1 }[/mm]
>
> Bin jetzt etwas verwirrt durch die verschieden Lösungswege
> sowie die verschiedenen Lösungen...
Na, so verschieden sind doch die Lösungen nicht. Die Wege auch nicht ...
Ein Eigenvektor ist nicht eindeutig.
Es ist ein Element (ungleich dem Nullvektor) des zu einem Eigenwert gehörigen Eigenraumes.
Marius hat dir für a) den Eigenraum zum Eigenwert [mm]\lambda=1[/mm] berechnet zu [mm]\langle{\vektor{\alpha\\
0}\rangle[/mm]
Und jeder Vektor daraus außer für [mm]\alpha=0[/mm] tut es als Eigenvektor.
Etwa für [mm]\alpha=1[/mm] der aus der Lösung.
Genauso ist aber [mm]\vektor{\pi\\
0}[/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda=1[/mm]. Dieser ergibt sich für [mm]\alpha=\pi[/mm]
Wie sieht denn die Rechnung zu b) aus?
Du musst [mm]A\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2}=2\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2}[/mm] lösen. (wobei $A$ die Matrix aus dem Ausgangspost sein soll)
Bzw. umgestellt [mm]A\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2}-2\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2}=\vektor{0\\
0}[/mm]
Oder [mm](A-2\cdot{}\mathbb{E}_2)\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2}=\vektor{0\\
0}[/mm]
Und das macht man doch bequemerweise, indem man die Matrix [mm]A-2\cdot{}\mathbb{E}_2[/mm] in Zeilenstufenform bringt.
Bei b) tut es als Eigenvektor dann auch etwa [mm] $\vec{v}=\vektor{1\\-1}$
[/mm]
Die Eigenvektoren aus der Lösung sind offensichtlich so gewählt, dass sie normiert sind ...
>
> Gruß und Danke.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:14 Di 09.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> Die Eigenvektoren aus der Lösung sind offensichtlich so
> gewählt, dass sie normiert sind ...
Normiert? Wie macht man das denn nun wieder?
Danke für die Antworten.
Gruß
EDIT: Grad nochmal nachgedacht. Normieren heißt auf die Länge 1 bringen. Jedoch ist doch die Lösung für $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ bereits $ [mm] \pmat{ 1 \\ -1 }$ [/mm] laut Lösungsbuch und trotzdem wurde $ [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2} } [/mm] $ davor geschrieben. Wieso?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Di 09.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Die Eigenvektoren aus der Lösung sind offensichtlich so
> > gewählt, dass sie normiert sind ...
>
> Normiert? Wie macht man das denn nun wieder?
>
> Danke für die Antworten.
>
> Gruß
>
> EDIT: Grad nochmal nachgedacht. Normieren heißt auf die
> Länge 1 bringen. Jedoch ist doch die Lösung für
> [mm]\lambda_2[/mm] bereits [mm]\pmat{ 1 \\ -1 }[/mm] laut Lösungsbuch und
> trotzdem wurde [mm]\bruch{1}{ \wurzel{2} }[/mm] davor geschrieben.
> Wieso?
Hat denn der Vektor [mm]\pmat{ 1 \\ -1 }[/mm] die Länge 1 ?? Berechne mal diese Länge.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:30 Di 09.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Ahhhhhh! Habe mich heute, frisch "ausgeschlafen" (habe Semesterferien, aber da meine Freundin früh raus muss, nutze ich die Zeit zum Mathe lernen) nochmal dran gesetzt und jetzt verstehe ich deinen Rechenweg.
Ich kann zwar nicht Erklären was genau ich da berechne, aber ich kann es nun Rechnen.
Gruß
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Hallo Haiza,
kleine Ergänzung, die sich lohnt zu merken, da sie jegliche Rechnung erspart.
> Bestimmen Sie den Eigenwert der Matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\
0 & 2 }[/mm]
>
Dies ist eine Dreiecksmatrix, da stehen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen ...
Die kannst du also direktemeng ablesen.
Und ihre Determinante ist das Produkt der Hauptdiagonaleinträge.
Gruß
schachuzipus
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