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| Aufgabe | Sei K ein Körper, n [mm] \in [/mm] IN und A, B [mm] \in (K)_{n}. [/mm] Beweisen oder widerlegen Sie:
a) A und [mm] A^{t} [/mm] haben dieselben Eigenwerte.
b) A und [mm] A^{t} [/mm] haben dieselben Eigenräume.
c) AB und BA haben dieselben Eigenwerte.
d) AB und BA haben dieselben Eigenräume. |
Ein Skalar a [mm] \in [/mm] K heißt ein Eigenwert von A, falls ein Vektor [mm] 0\not= [/mm] v [mm] \in [/mm] V existiert mit Av = av; v heißt dann ein Eigenvektor zum Eigenwert a.
Für [mm] a\in [/mm] K heißt V(A,a)= { v/ [mm] v\in [/mm] V, Av = av } [mm] \le [/mm] V Eigenraum von A zum Eigenwert a.
Ok, das schon mal erklärt, nur wie packt man die Sache hier wieder an...? Ich würde mir das so erstmal vorstellen:
Av=av und [mm] A^{t}=a^{t}v
[/mm]
Av-av= [mm] A^{t}v-a^{t}v
[/mm]
und nun müssen die Eigenwerte gleich sein,also [mm] a=a^{t}?? [/mm] Könnte mir hier jemand weiterhelfen?
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Hallo,
Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Die Determinante einer Matrix ist gleich der ihrer Transponierten und weiterhin ist das charakteristische Polynom einer Matrix gleich dem ihrer Transponierten, daher stimmen die Nullstellen überein und damit die Eigenwerte.
Viele Grüße,
Stefan
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Kann man sich das genauer vorstellen? Mir war allein der Begriff "transponieren" ganz neu. Wenn ich richtig liege dann bedeutet dies doch so viel wie das Vertauschen von Zeilen und Spalten bei einer Matrix.
Wenn ich zum Beispiel die Matrix habe:
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 } [/mm] dann ist die Transponierte dazu dann:
[mm] A^{t}= \pmat{ 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6} [/mm] , lieg ich damit richtig?
So ganz blicke ich hier noch nicht durch. Könnte das jemand nochmal für jemanden erklären, der das alles nicht so ganz schnell begreift?  Ich meine insbesondere dieses hier: Die Determinante einer Matrix= der ihren Transponierten und das charakteristische Polynom einer Matrix= der ihrer Transponierten,... liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Kann man sich das genauer vorstellen? Mir war allein der
> Begriff "transponieren" ganz neu. Wenn ich richtig liege
> dann bedeutet dies doch so viel wie das Vertauschen von
> Zeilen und Spalten bei einer Matrix.
> Wenn ich zum Beispiel die Matrix habe:
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }[/mm] dann ist die
> Transponierte dazu dann:
> [mm]A^{t}= \pmat{ 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6}[/mm] , lieg ich damit
> richtig?
>
Richtig!
> So ganz blicke ich hier noch nicht durch. Könnte das jemand
> nochmal für jemanden erklären, der das alles nicht so ganz
> schnell begreift? Ich meine insbesondere dieses hier:
> Die Determinante einer Matrix= der ihren Transponierten und
> das charakteristische Polynom einer Matrix= der ihrer
> Transponierten,... liebe Grüße
>
Das ist eine Eigenschaft der Determinante: [mm] det(A)=det(A^t).
[/mm]
Und da das charakteristische Polynom mit Hilfe der Determinante definiert ist, folgt, dass die transponierte Matrix dasselbe charakteristische Polynom hat.
B) - d) sind falsch, da kannste einfach Gegenbsp. angeben.
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Vielen Dank für diese Hilfe! Zu b) hatte ich noch eine Frage. Ich weiß wie ein Eigenraum definiert ist und was er für Eigenschaften hat:
Ist F ein Endomorphimus von V und [mm] \lambda\in [/mm] K, so nennen wir
[mm] \begin{displaymath}Eig(F;\lambda):=\{v\in V:F(v)=\lambda v\}\end{displaymath}
[/mm]
den Eigenraum von F bezüglich [mm] \lambda.
[/mm]
* Der Eigenraum ist ein Untervektorraum des Vektorraums V.
* Der Nullvektor ist nicht im Eigenraum vorhanden.
* Eig [mm] (F;\lambda)\\ \{0\} [/mm] ist die Menge der zu [mm] \lambda [/mm] gehörigen Eigenvektoren.
Haben A und [mm] A^{t} [/mm] dieselben Eigenräume? Wie krieg ich das jetzt raus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mi 02.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank für diese Hilfe! Zu b) hatte ich noch eine
> Frage. Ich weiß wie ein Eigenraum definiert ist und was er
> für Eigenschaften hat:
>
> Ist F ein Endomorphimus von V und [mm]\lambda\in[/mm] K, so nennen
> wir
>
> [mm]\begin{displaymath}Eig(F;\lambda):=\{v\in V:F(v)=\lambda v\}\end{displaymath}[/mm]
>
> den Eigenraum von F bezüglich [mm]\lambda.[/mm]
>
> * Der Eigenraum ist ein Untervektorraum des Vektorraums V.
> * Der Nullvektor ist nicht im Eigenraum vorhanden.
> * Eig [mm](F;\lambda)\\ \{0\}[/mm] ist die Menge der zu [mm]\lambda[/mm]
> gehörigen Eigenvektoren.
>
> Haben A und [mm]A^{t}[/mm] dieselben Eigenräume? Wie krieg ich das
> jetzt raus?
Versuch dich doch erst einmal an einem einfachen Fall, zum Beispiel mit [mm] $2\times2$-Matrizen. [/mm] Ich gebe dir die Matrix
[mm] A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm]
vor; sie hat den doppelten Eigenwert [mm] $\lambda=1$. [/mm] Offensichtlich ist
[mm] A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm]
Haben diese beiden Matrizen denselben Eigenraum?
Viele Grüße
Rainer
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Wenn wir ein einziges Beispiel mal besprochen hätten, dann wüsste ich jetzt weiter, nur kann ich dir nur damit antworten: ich weiß es leider nicht :'-( , tut mir leid. Wie geht man da voran...LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Do 03.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn wir ein einziges Beispiel mal besprochen hätten, dann
> wüsste ich jetzt weiter, nur kann ich dir nur damit
> antworten: ich weiß es leider nicht :'-( , tut mir leid.
> Wie geht man da voran...LG
Der Eigenraum der Matrix M zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] besteht aus allen Vektoren v, die die Gleichung
[mm] Mv=\lambda v [/mm]
erfüllen.
Die Matrix
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\0 &1 \end{pmatrix} [/mm]
hat den doppelten Eigenwert 1. (Siehe dazu auch charakteristisches Polynom.) Du musst alle Vektoren finden, für die gilt:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\0 &1 \end{pmatrix} \vektor{v_1\\v_2} = 1*\vektor{v_1\\v_2} [/mm]
oder
[mm]\vektor{v_1+v_2\\v_2} = \vektor{v_1\\v_2} [/mm].
Daraus folgt [mm] $v_2=0$, $v_1$ [/mm] ist beliebig.
Jetzt rechne das mal mit der transponierten Matrix durch.
Viele Grüße
Rainer
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Bei der Transponierten sieht es dann ja ähnlich aus, nur dass [mm] v_{1}=0 [/mm] ist und [mm] v_{2} [/mm] beliebig. Und die daraus resultierende Schlussfolgerung ist, dass A und [mm] A^{t} [/mm] die gleichen Eigenräume haben? Wenn das so stimmt, dann darf ich das jedoch nicht mit einem Beispiel beweisen. Wie kann ich mein Ergebnis dann nur begründen? Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Do 03.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] span\vektor{1 \\ 0}\not=span\vektor{0 \\ 1}!
[/mm]
Damit hast du ein Gegenbsp. für Teilaufgabe b) gefunden.
Bei c) und d) gehste analog vor - ganz einfache Matrizen nehmen und rumprobieren, bis ein Gegenbsp. rauskommt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Do 03.04.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Ich wollte nur anmerken, dass Aussage c.) richtig ist! Viele Grüße Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Do 03.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
Hast recht!
'Tschuldigung an den Threadsteller!
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in aufgabe d) wähle ich ein beispiel, was zum gegenbeweis führen soll...
Bsp:
[mm] A\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }*B\pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 }=\pmat{ 19 & 22 \\ 43 & 50 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 19 & 22 \\ 43 & 50 }*\vektor{v_1 \\ v_2}=\lambda*\vektor{v_1 \\ v_2}
[/mm]
ich habe versucht mich an dem Beispiel in Aufgabe b zu orientieren und wollte gerne wissen ob das soweit vielleicht richtig wäre.
Und könnte mir jemand sagen wie ich [mm] \lambda [/mm] ausrechnen kann? Woher weiß ich wie groß dieser Wert ist. In Aufgabe b war dieser ja [mm] \lambda=1, [/mm] nur wie kommt man darauf? Lg
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> in aufgabe d) wähle ich ein beispiel, was zum gegenbeweis
> führen soll...
> Bsp:
>
> [mm]A\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }*B\pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 }=\pmat{ 19 & 22 \\ 43 & 50 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 19 & 22 \\ 43 & 50 }*\vektor{v_1 \\ v_2}=\lambda*\vektor{v_1 \\ v_2}[/mm]
>
> ich habe versucht mich an dem Beispiel in Aufgabe b zu
> orientieren und wollte gerne wissen ob das soweit
> vielleicht richtig wäre.
> Und könnte mir jemand sagen wie ich [mm]\lambda[/mm] ausrechnen
> kann? Woher weiß ich wie groß dieser Wert ist.
Hallo,
ömmm - das hättest Du vielleicht besser vor dem Start dieses Threads geklärt...
Aber Du weißt, was Eigenwerte und Eigenvektoren sind? Ich hoffe das sehr.
Berechnen tust Du die Eigenwerte einer Matrix A, indem Du die Nullstellen der Determinante von A-x*E berechnest.
Um an die Eigenwerte von [mm] \pmat{ 19 & 22 \\ 43 & 50 }zu [/mm] kommen, berechne also die Determinante von [mm] \pmat{ 19-x & 22 \\ 43 & 50-x } [/mm] (=charakteristisches Polynom) und dann die Nullstellen dieses Polynoms.
Anschließend die Eigenräume, und die müssen dann mit denen von [mm] \pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 }*\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] verglichen werden.
(Ich persönlich würde lieber versuchen, ein Gegenbeispiel zu finden, bei dem man weniger rechnen muß.)
Gruß v. Angela
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ich habe nun ein einfacheres beispiel genommen:
[mm] A\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }*B\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 2 }=\pmat{ 5 & 5 \\ 2 & 2 }
[/mm]
dann:
[mm] \pmat{ 5-x & 5 \\ 2 & 2-x }=(5-x)(2-x)-10=0 [/mm] mit den Nullstellen:
[mm] x_{01}=0 [/mm] und [mm] x_{02}=7
[/mm]
demzufolge ist [mm] \lambda=0 [/mm] und 7?? Lg
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> ich habe nun ein einfacheres beispiel genommen:
>
> [mm]A\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }*B\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 2 }=\pmat{ 5 & 5 \\ 2 & 2 }[/mm]
>
> dann:
hallo,
irgendwie hast Du Deine Matrizen falsch multipliziert. (Hat das A und B eigentlich irgendeine Bewandnis?)
>
> [mm]\pmat{ 5-x & 5 \\ 2 & 2-x }=(5-x)(2-x)-10=0[/mm] mit den
> Nullstellen:
>
> [mm]x_{01}=0[/mm] und [mm]x_{02}=7[/mm]
>
> demzufolge ist [mm]\lambda=0[/mm] und 7??
Abgesehen davon, daß die Matrix nicht stimmt, hast Du richtig weitergemacht.
Gruß v. Angela
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