Eigenwert und Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:02 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Sabrina04 |
Hallo,
habe Probleme bei der Berechnung der folgenden Aufgabe:
a)
Gegeben ist die Matrix
4 5 0
B= 3 2 0
1 - 1 2
B hat den Eigenwert lambda = 2. Geben Sie hierzu einen Eigenvektor an.
b)
Der Vektor x' = (-3;3;2) ist ein Eigenvektor der Matrix B. Zu welchem Eigenwert gehört er?
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand die Lösungswege zu diesen Aufgaben
beschreiben kann.
Vielen Dank
Grüße
Sabrina
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sabrina04!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> a)
> Gegeben ist die Matrix
>
>
> 4 5 0
> B= 3 2 0
> 1 - 1 2
Bist du sicher, dass diese Matrix richtig ist?
Eigenwerte und -vektoren können doch nur von quadratischen Matrizen berechnet werden.
Korrektur: Da war ich wieder mal zu dämlich, die Matrix ist natürlich quadratisch.
> B hat den Eigenwert lambda = 2. Geben Sie hierzu einen
> Eigenvektor an.
> b)
>
> Der Vektor x' = (-3;3;2) ist ein Eigenvektor der Matrix B.
> Zu welchem Eigenwert gehört er?
>
> Es wäre sehr nett, wenn mir jemand die Lösungswege zu
> diesen Aufgaben
> beschreiben kann.
Das wäre wirklich nett, aber ein paar Ansätze/Versuche von dir möchten wir schon sehen.
Du wirst doch bereits etwas versucht haben, oder?
Zum Beispiel könntest du die Bestimmungsgleichung für Eigenwerte/-vektoren mal raussuchen und versuchen, sie hier anzuwenden.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Marc,
habe die Aufgaben versucht selbst zu berechnen und nun konkrete Fragen dazu. Außerdem sind noch zwei weitere dazu gekommen.
a) Gegeben ist die Matrix
A= [mm] \pmat{ 2 & 1\\ -4 & -3} [/mm]
Geben Sie das charakteristische Polynom der Matrix A an.
Meine Lösung ist: [mm] -2+\lambda [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] =0
Ist das schon das charakteristische Polynom?
b)Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
[mm] \lambda1=1 [/mm]
[mm] \lambda2=-2 [/mm]
Ist die Lösung richtig?
c)
B= [mm] \pmat{ 4& 5&0\\ 3 & 2&0\\1&-1&2} [/mm]
B hat den Eigenwert [mm] \lambda=2. [/mm] Geben Sie hierzu den Eigenvektor an.
[mm] (B-\lambdaE)x=0
[/mm]
(B-2E)x=0
[mm] \pmat{ 4& 5&0\\ 3 & 2&0\\1&-1&2} [/mm] -2 [mm] \pmat{ 1& 0&0\\ 0 &1&0\\0&0&1}\pmat{ x1\\ x2\\x3}=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 4-2& 5&0\\ 3 & 2-2&0\\1&-1&2-2}
[/mm]
[mm] 2x_1+5x_2 [/mm] =0
[mm] 3x_1 [/mm] =0
[mm] x_1-x_2 [/mm] =0
Jetzt bekomme ich irgendwie für alle x 0 heraus, das kann doch nicht sein?
Eigentlich sind doch alle Ergebnisse für x dann der Eigenvektor?
Danke im Voraus.
Grüße Sabrina
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Die Aufgabe hat eben nicht mehr in das Feld gepasst.
d) Der Vektor x' (-3;3;2) ist der Eigenvektor der Matrix B. Zu welchem Eigenwert gehört er?
[mm] (B-(\lambda)E)x=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 4& 5&0\\ 3 & 2&0\\1&-1&2} -\lambda\pmat{ 1& 0&0\\ 0 &1&0\\0&0&1}\pmat{ -3&3&2}=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 4-\lambda& 5&0\\ 3 & 2-\lambda& &0\\1&-1&2-\lambda}\pmat{ -3\\ 3\\2}=0
[/mm]
[mm] \pmat{ -12+3\lambda& -15&0\\ 9 & 6-3\lambda&0\\2&-2&4-2\lambda}=0
[/mm]
Stimmt das soweit? Erhält man dann aus den Gleichungen nur einen Wert für [mm] \lambda?
[/mm]
Vielen Dank!
Viele Güße
Sabrina
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mi 04.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Sabrina
grundsätzlich ist das vorgehen nicht falsch, es haben sich aber ien paar rechenfehler eingeschlichen:
[mm]\left[ \pmat{ 4& 5&0\\ 3 & 2&0\\1&-1&2} -\lambda\pmat{ 1& 0&0\\ 0 &1&0\\0&0&1} \right] \pmat{ -3 \\3 \\2}=\pmat{ 0 \\0 \\0}
[/mm]
naja halt wieder klammern setzten. ich weiß nicht, ob du den vektor vorher absichtlich transponiert geschriebne hast, oder ob das ein tippfehler war? so sollte es auf jeden fall stimmen.
danach stimmst das ja alles wieder
[mm]\pmat{ 4-\lambda& 5&0\\ 3 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & -1 & 2-\lambda}\pmat{ -3\\ 3\\2}=\pmat{ 0 \\0 \\0}
[/mm]
jetzt musst du allerdings aufpassen: denn multiplizerst du einen vektor von rechts an eine matrix heran, erhälst du keine matrix, sondern einen vektor!
[mm] \pmat{ -3(4-\lambda) + 3*5 + 2*0 \\ -3*3 + 3(2-\lambda) + 0 \\ -3*1 + 3*(-1) + 2*(2-\lambda)} = \pmat{ 3 + 3\lambda \\ -3 - 3\lambda \\ -2 - 2\lambda} = \pmat{ 0 \\0 \\0} [/mm]
also erhälst du 3 gleichungen, die alle das selbe resultat liefern sollten, was sie hier auch tuen, nämlich [m] \lambda= -1 [/m].
aber du kannst es dir auch viel einfacher machen:
multipliziere einfach den vektor auf die marix und schaue mit was du den ursprünglichen vektor multiplizieren musst um den so erhaltenen zu berechnen. es wäre hier natürlich vorteilhaft, wenn bei dieser methode auch -1 herauskommen würde.
ich kann dir nur die letztere methode empfehlen, da du dir damit sehr viel rechenarbeit ersparst.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Sabrina04 |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mi 04.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Sabrina
ich miche mich da jetzt einfach mal ein
> habe die Aufgaben versucht selbst zu berechnen und nun
> konkrete Fragen dazu. Außerdem sind noch zwei weitere dazu
> gekommen.
>
> a) Gegeben ist die Matrix
>
> A= [mm]\pmat{ 2 & 1\\ -4 & -3}[/mm]
>
> Geben Sie das charakteristische Polynom der Matrix A an.
>
> Meine Lösung ist: [mm]-2+\lambda[/mm] + [mm]\lambda^2[/mm] =0
sehr gut .
> Ist das schon das charakteristische Polynom?
ja. das charakteristische polynom ist ja gerade [m] \chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda \text{Id}) [/m] und das ist ja das was du berechnet hast.
> b)Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
>
> [mm]\lambda1=1[/mm]
> [mm]\lambda2=-2[/mm]
> Ist die Lösung richtig?
ja. das sind ja genau die nullstellen des charakteristischen polynoms.
+
> c)
> B= [mm]\pmat{ 4& 5&0\\ 3 & 2&0\\1&-1&2}[/mm]
> B hat den Eigenwert [mm]\lambda=2.[/mm] Geben Sie hierzu den
> Eigenvektor an.
>
> [mm](B-\lambdaE)x=0
[/mm]
> (B-2E)x=0
>
> [mm]\pmat{ 4& 5&0\\ 3 & 2&0\\1&-1&2}[/mm] -2 [mm]\pmat{ 1& 0&0\\ 0 &1&0\\0&0&1}\pmat{ x1\\ x2\\x3}=0
[/mm]
da müsstest du eigentlich noch klammern, denn sonst hättest du matrix - vektor auf der lineken seite der gelichung stehen. also formal korrekt wäre:
[mm] \left[ \pmat{ 4& 5&0\\ 3 & 2&0\\1&-1&2} -2 \pmat{ 1& 0&0\\ 0 &1&0\\0&0&1} \right] \pmat{ x1\\ x2\\x3} = \pmat{ 0\\ 0\\0}
[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 4-2& 5&0\\ 3 & 2-2&0\\1&-1&2-2}
[/mm]
>
> [mm]2x_1+5x_2[/mm] =0
> [mm]3x_1[/mm] =0
> [mm]x_1-x_2[/mm] =0
>
> Jetzt bekomme ich irgendwie für alle x 0 heraus, das kann
> doch nicht sein?
> Eigentlich sind doch alle Ergebnisse für x dann der
> Eigenvektor?
du erhälst ja dann das lineare gleichungssystem
[m] \left\{ \begin{array}{ccccccccc}
2x_1 & + & 5 x_2 & & & = 0 & & (1) \\
3 x_1 & & & & & = 0 & & (2) \\
x_1 & - & x_2 & & & = 0 & & (3)
\end{array} \right. [/m]
wie du schon geschrieben hast folgt aus (2), dass [mm] $x_1 [/mm] = 0$ und dann aus wahlweise (1) oder (3), dass [mm] $x_2 [/mm] = 0$. jedoch hast du keine bedingung für [mm] $x_3$, [/mm] also kann [mm] $x_3$ [/mm] beliebig sein und das lineare gleichungssystem wird immer noch gelöst.
sagen wir z.b. [mm] $x_3 [/mm] = t, [mm] \qquad [/mm] t [mm] \in \mathbb{R}$, [/mm] dann erhälst du als lösung des gleichngssystems - da $ [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = 0$:
[m] \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ t \end{array} \right) = t \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) [/m]
du kannst nun ganz einfach nachprüfen, ob du richtig gerechnet hast, indem du den erhaltenen vektor einfach auf die matrix multiplizerst - und siehe da: du erhälst genau das doppelte des ausgangsvektors, nämlich:
[m] \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\2t \end{array} \right) [/m]
andreas
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