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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Fr 24.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | A= [mm] \pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Zu berechnen sind die Eigenwerte von A. |
Hallo,
mir ist bewusst, wie ich Eigenwerte berechne, ich verrechne mich nur bei dieser Matrix andauernd und benötige eure Hilfe.
Ich habe es mit dem Laplac'schen System versucht, mich aber zu oft verrechnet.
Jetzt versuche ich es, indem ich die Matrix in Zeilenstufenform bringe und dann das Polynom aus der Diagonalen bilde.
Ich bekomme jedoch leider keine Zeilenstufenform hin, irgendeine Zahl in der linken Dreieckshälfte bleibt immer übrig.
Wenn jemand die Zeit hat es selbst mal auszuprobieren und zu gucken, wie und ob man es schafft, wäre ich sehr dankbar, denn ich habe momentan aufgegeben 
Viele Grüße, Paula
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Hallo paula_88,
> A= [mm]\pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
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> Zu berechnen sind die Eigenwerte von A.
> Hallo,
> mir ist bewusst, wie ich Eigenwerte berechne, ich
> verrechne mich nur bei dieser Matrix andauernd und
> benötige eure Hilfe.
>
> Ich habe es mit dem Laplac'schen System versucht, mich aber
> zu oft verrechnet.
> Jetzt versuche ich es, indem ich die Matrix in
> Zeilenstufenform bringe und dann das Polynom aus der
> Diagonalen bilde.
> Ich bekomme jedoch leider keine Zeilenstufenform hin,
> irgendeine Zahl in der linken Dreieckshälfte bleibt immer
> übrig.
>
> Wenn jemand die Zeit hat es selbst mal auszuprobieren und
> zu gucken, wie und ob man es schafft, wäre ich sehr
> dankbar, denn ich habe momentan aufgegeben
Nun, dann werden irgendwelche
Zeilenvertauschungen durchzuführen sein.
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> Viele Grüße, Paula
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 So 26.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Guten Morgen,
alles klar, dann poste ich mal meine Schritte der Zeilenstufenumformungen, vielleicht seht ihr meinen Fehler:
$ [mm] \pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 } $\sim$ \pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 } $\sim$ \pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 } $\sim$ \pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
Wie bereits gesagt, bleiben bei mir, egal wie viele unterschiedliche Wege ich versuche, immer 1-2 Zahlen ungleich 0 in der linken Dreieckshälfte.
Ich benötige schnelle Hilfe bitte
Viele Grüße, Paula
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> Guten Morgen,
> alles klar, dann poste ich mal meine Schritte der
> Zeilenstufenumformungen, vielleicht seht ihr meinen
> Fehler:
>
> [mm]\pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 }[/mm][mm] \sim[/mm]
> [mm]\pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 }[/mm][mm] \sim[/mm]
> [mm]\pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 }[/mm][mm] \sim[/mm]
> [mm]\pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Wie bereits gesagt, bleiben bei mir, egal wie viele
> unterschiedliche Wege ich versuche, immer 1-2 Zahlen
> ungleich 0 in der linken Dreieckshälfte.
>
> Ich benötige schnelle Hilfe bitte
>
> Viele Grüße, Paula
Hallo,
mir ist nicht ganz klar, was Du planst: Deiner Überschrift entnehme ich, daß Du Eigenwerte berechnen möchtest, ich sehe jetzt aber überhaupt nicht, daß Du irgendwelche Aktivitäten unternimmst, die in diese Richtung gehen.
Um die Eigenwerte herauszufinden, wäre ja erstmal das Polynom det(A-xE) zu berechnen, das charakteristische Polynom.
Was hast Du denn genau vor?
Offenbar willst Du irgendwie die Matrix A in ZSF bringen - warum auch immer.
Dies solltest Du systematisch angehen: als erstes sind unter dem Element an der Position 1.Z/1.S Nullen erzeugen.
Du kannst das nachholen, indem Du bei der letzten Matrix rechnest 2.Zeile+0.5*1.Zeile.
Als nächstes machst Du dann Nullen unter dem Element an Position 2./2.Spalte.
Gruß v. Angela
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Eigenwerte berechnet man mittels (A-λ*I) -> daraus Charakteristisches Polynom entwickeln (Regel von Sarrus gilt hier bekanntlich nicht).
Warum willst du sie auf eine einfachere Gestalt bringen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 So 26.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
> Eigenwerte berechnet man mittels (A-λ*I) -> daraus
> Charakteristisches Polynom entwickeln (Regel von Sarrus
> gilt hier bekanntlich nicht).
Ich hatte sonst nur 3x3 Matrizen und habe immer mit der Sarrus-Regel gearbeitet, weshalb ich hier ein wenig verlohren bin ^^
>
> Warum willst du sie auf eine einfachere Gestalt bringen?
Ich wollte sie auf ZSF bringen um somit aus der Diagonalen das Charakteristische Polynom zu ermitteln. Ich dachte, dass wenn eine Matrix in ZSF ist, dann ist das Produkt der Diagonalen die Determinante!???
Hättest du einen besseren Weg? Ich versuche gerne jede Möglichkeit :-D
Viele Grüße Paula
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Hallo Paula
> Ich hatte sonst nur 3x3 Matrizen und habe immer mit der
> Sarrus-Regel gearbeitet, weshalb ich hier ein wenig
> verlohren bin ^^
Hier musst du den Laplace'schen Entwicklungssatz anwenden.
Erspart dir einiges an Rechenaufwand im Vergleich zum Gauß'schen Algorithmus und danach die Diagonalelemente zu multiplizieren.
> Ich wollte sie auf ZSF bringen um somit aus der Diagonalen
> das Charakteristische Polynom zu ermitteln. Ich dachte,
> dass wenn eine Matrix in ZSF ist, dann ist das Produkt der
> Diagonalen die Determinante!???
Probier lieber den Laplace'schen Entwicklungssatz ;) da verrechnet man sich nicht all zu leicht.
> Hättest du einen besseren Weg? Ich versuche gerne jede
> Möglichkeit :-D
>
> Viele Grüße Paula
>
LG Scherzkrapferl
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![[]](/images/popup.gif) HIER kannst du dir den Laplace'schen Entwicklungssatz genauer ansehen ;) Funktioniert bei jeglicher Matrixgröße - behaupte ich mal.
LG Scherzkrapferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 26.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz habe ich irgendwie meine Probleme, ich zeige einfach mal, wie ich es machen würde:
Um das charakteristische Polynom zu ermitteln muss ich ja [mm] det(x\cdotE_{n}-A) [/mm] berechnen:
det$ [mm] \pmat{ x+2 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & x & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & x & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & x+1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & x } [/mm] $ = [mm] -1\cdot(-1)^7\cdot [/mm] det$ [mm] \pmat{ x+2 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & x & -1 & 0 \\ 1 & 1 & x+1 & 1 } [/mm] $ = [mm] -1\cdot (-1)^{6}\cdot [/mm] det$ [mm] \pmat{ x+2 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 } $+x\cdot(-1)^{5}\cdot [/mm] det$ [mm] \pmat{ x+2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & x+1 & 1 } [/mm] $)
Diese beiden Matrizen haben ich mit der Sarrus-Regel ausgerechnet, hier bekomme ich jedoch nicht die richtigen Eigenwerte raus, desweiteren müsste es ein Polynom 5. Grades sein, da die Matrix 5 Eigenwerte besitzt, mein Polynom war jedoch nur 3. Grades.
Was mach ich falsch?
Vielen Dank für eure Hilfen, Paula
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Probiere zuerst mal eine 2x2 Matrix zu entwickeln und das Schema nach zu vollziehen.
HIER hast du eine schöne Anleitung wie man richtig entwickelt.
LG Scherzkrapferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 26.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Alles klar, ich habe das System eben anhand einer 2x2-Matrix versucht und habe das korrekte Ergebnis rausbekommen.
Ich habe das System also verstanden, und komme bei der 5x5-Matrix trotzdem nicht auf die richtige Lösung.
Könnte es mir vllt jemand zeigen? Dann erkenne ich hoffentlich meine Fehler.
Viele Grüße, Paula
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Entwicklung nach der k-ten Zeile:
[mm] det(A)=\summe_{j=1}^{n}(-1)^{k+j}(a[/mm] kj)*det(Akj)
Entwicklung nach der l-ten Spalte:
[mm] det(A)=\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i+l}(a[/mm] il)*det(Ail)
Dein Fehler ist dass du schon bei der ersten Entwicklung auf eine 4x4 Matrix einiges vergessen hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 26.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Komisch, ich sehe irgendwie nicht, was ich vergessen habe
Naja, nochmal langsam und erstmal nur die Entwicklung der 5x5 auf eine 4x4 Matrix:
A= $ [mm] \pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
[mm] det(x\cdot E_{n}-A)= [/mm] det$ [mm] \pmat{ x+2 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
So, wenn ich jetzt nach der 3. Zeile entwickel, ergibt ja alles 0, bis auf die 4. Spalte, weshalb ich nur die in Betracht ziehe:
[mm] -1\cdot(-1)^{7}\cdot [/mm] det$ [mm] \pmat{ x+2 & 2 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 } [/mm] $
So, jetzt habe ich die Schnittstelle mitbedacht, die weggelassene Zeile und Spalte mit [mm] (-1)^{4+3} [/mm] und die 4x4 Matrix hingeschrieben.
Was fehlt denn da noch?
Viele Grüße, Paula
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> Komisch, ich sehe irgendwie nicht, was ich vergessen habe
>
> Naja, nochmal langsam und erstmal nur die Entwicklung der
> 5x5 auf eine 4x4 Matrix:
>
> A= [mm]\pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]det(x\cdot E_{n}-A)=[/mm] det[mm] \pmat{ x+2 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> So, wenn ich jetzt nach der 3. Zeile entwickel, ergibt ja
> alles 0, bis auf die 4. Spalte, weshalb ich nur die in
> Betracht ziehe:
>
> [mm]-1\cdot(-1)^{7}\cdot[/mm] det[mm] \pmat{ x+2 & 2 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 }[/mm]
>
> So, jetzt habe ich die Schnittstelle mitbedacht, die
> weggelassene Zeile und Spalte mit [mm](-1)^{4+3}[/mm] und die 4x4
> Matrix hingeschrieben.
>
> Was fehlt denn da noch?
>
> Viele Grüße, Paula
wo sind deine x hin ?
$ [mm] \pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
am einfachsten ist die Formel: (A-x*I)
--> [mm] \pmat{ -2-x & -2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & -x & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -x & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -1-x & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -x } [/mm]
Entwicklung nach der 3. Zeile:
[mm] p(x)=det(A-x*I)=det(\pmat{ -2-x & -2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & -x & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -x & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -1-x & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -x } )=(-λ)(-1)^{6}*\vmat{ -2-x & -2 & 0 & -2 \\ 1 & -x & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1-x & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -x } +(-1)^{7}*\vmat{ -2-x & -2 & -1 & -2 \\ 1 & -x & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -x }
[/mm]
Das kannst du nun weiter entwickeln ;) Am besten gleich auf 2x2 Matrizen (bei der Regel von Sarrus kann man sich leicht verrechnen wenn man Klammern vergisst)
LG Scherzkrapferl
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Das die Determinante dieser Matrix übrigens 0 ist kann ich dir jetzt schon sagen ;)
(was ja auch so sein muss da das charakteristische Polynom deiner matrix p(λ)=det(A-λ*I)=0 lautet)
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> A= [mm]\pmat{ -2 & -2 & -1 & 0 & -2 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Zu berechnen sind die Eigenwerte von A.
> Hallo,
> mir ist bewusst, wie ich Eigenwerte berechne, ich
> verrechne mich nur bei dieser Matrix andauernd und
> benötige eure Hilfe.
>
> Ich habe es mit dem Laplac'schen System versucht, mich aber
> zu oft verrechnet.
> Jetzt versuche ich es, indem ich die Matrix in
> Zeilenstufenform bringe und dann das Polynom aus der
> Diagonalen bilde.
Hallo,
mir schwant gerade, was in Dir vorgeht...
Falls Du vorhast, zunächst A in die Zeilenstufenform A' zu bringen, und dann per det(A'-xE) das charakteristische Polynom aufzustellen, ist dies falsch.
Es ist det(A'-xE) nicht dasselbe wie det(A-xE)!
Etwas anderes aber ist oft lohnend, nämlich die Matrix A-xE auf eine gemütlichere Form zu bringen mit vielen Nullen, damit Laplace bequemer wird. Bevor man blindlings losrechnet, lohnt sich insbesondere in Klausuren ein Blick auf die Matrix unter diesem Aspekt, denn man kann möglicherweise viel Zeit sparen.
Gruß v. Angela
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