www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - EigenwerteEigenwertberechnung 4x4 Matrix
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwertberechnung 4x4 Matrix
Eigenwertberechnung 4x4 Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwertberechnung 4x4 Matrix: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:56 Sa 01.09.2012
Autor: Raijin92

Aufgabe
Berechnen Sie alle Eigenwerte der Matrix

[mm] A=\pmat{ 5 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 2 \\0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 2 & -4} [/mm]

Hallo leute,

Ich komme bei der berechnung von den Eigenwerten einer 4x4 Matrix nicht mehr weiter. Hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

Mein Rechenweg:
det(A [mm] -\lambda [/mm] E)=
[mm] \vmat{ 5-\lambda & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2-\lambda & 3 & 2 \\0 & 0 & 1-\lambda & -3 \\0 & 0 & 2 & -4-\lambda} [/mm]

Hab die Determinante zu 1. Spalte gebildet

det(A [mm] -\lambda [/mm] E)=
[mm] (5-\lambda) \* \vmat{ 2 -\lambda & 3 & 2 \\ 0 & 1 -\lambda & -3\\ 0& 2 & -4 -\lambda} [/mm] -  2 [mm] \* \vmat{ -1&1&1 \\ 0 & 1 -\lambda & -3\\ 0& 2 & -4 -\lambda} [/mm]

Nochmal die Determinante zu 1. Spalte:

[mm] (5-\lambda) \* (2-\lambda) \* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda }+2 \* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda } [/mm]

= [mm] (5-\lambda) \* (2-\lambda) [/mm] * ( [mm] (1-\lambda) \*(-4-\lambda)-(2\*(-3)) [/mm] ) +2 [mm] \* [/mm] ( [mm] (1-\lambda) \*(-4-\lambda)-(2\*(-3)) [/mm] )

[mm] =(\lambda^{2}-7\lambda+10)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2) [/mm] + [mm] 2\* (\lambda^{2}+3\lambda+2) [/mm]

[mm] =(\lambda^{2}-7\lambda+10)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2) [/mm] +  [mm] (2\lambda^{2}+6\lambda+4) [/mm]

Jetzt weiß ich nicht mehr was ich machen muss hab ich irgendwo ein fehler?

Ich wollte eigentlich die p-q formel anwenden aber da kommen nur falsche ergebnisse.





Die lösungen sind schon bekannt aber ich bekomme diese werte nicht heraus:

det(A [mm] -\lambda E)=\vmat{ 5-\lambda & -1 \\ 2 & 2-\lambda }\* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda } [/mm] = [mm] (\lambda^{2}-7\lambda+12) \*(\lambda^{2}+3\lambda+2) [/mm]

[mm] \lambda_{1}=4, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=-1, \lambda_{4}=-2 [/mm]


Gehe ich die sache evtl. zu kompliziert an?
Gibts da irgend ein Trick dahinter?

Ich bedanke mich im voraus.
Viele Grüße Raijin92


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Eigenwertberechnung 4x4 Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:55 Sa 01.09.2012
Autor: franzzink

Hallo Raijin,

du hast ja fast alles richtig gemacht:

> Berechnen Sie alle Eigenwerte der Matrix
>  
> [mm]A=\pmat{ 5 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 2 \\0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 2 & -4}[/mm]
>  
> Hallo leute,
>  
> Ich komme bei der berechnung von den Eigenwerten einer 4x4
> Matrix nicht mehr weiter. Hoffe ihr könnt mir weiter
> helfen.
>  
> Mein Rechenweg:
>  det(A [mm]-\lambda[/mm] E)=
>  [mm]\vmat{ 5-\lambda & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2-\lambda & 3 & 2 \\0 & 0 & 1-\lambda & -3 \\0 & 0 & 2 & -4-\lambda}[/mm]
>  
> Hab die Determinante zu 1. Spalte gebildet
>  
> det(A [mm]-\lambda[/mm] E)=
>   [mm](5-\lambda) \* \vmat{ 2 -\lambda & 3 & 2 \\ 0 & 1 -\lambda & -3\\ 0& 2 & -4 -\lambda}[/mm]
> -  2 [mm]\* \vmat{ -1&1&1 \\ 0 & 1 -\lambda & -3\\ 0& 2 & -4 -\lambda}[/mm]
>
> Nochmal die Determinante zu 1. Spalte:
>  
> [mm](5-\lambda) \* (2-\lambda) \* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda }+2 \* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda }[/mm]
>  
> = [mm](5-\lambda) \* (2-\lambda)[/mm] * ( [mm](1-\lambda) \*(-4-\lambda)-(2\*(-3))[/mm]
> ) +2 [mm]\*[/mm] ( [mm](1-\lambda) \*(-4-\lambda)-(2\*(-3))[/mm] )
>  
> [mm]=(\lambda^{2}-7\lambda+10)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm] + [mm]2\* (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm]

Bis hierher stimmt alles. Klammere jetzt  [mm] (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm] aus, dann erhälst du:

[mm] ... = (\lambda^{2}-7\lambda+10 + 2)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm]
[mm] = (\lambda^{2}-7\lambda+12)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm]

Dies ist das Ergebnis der Musterlösung.

> [mm]=(\lambda^{2}-7\lambda+10)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm] +  
> [mm](2\lambda^{2}+6\lambda+4)[/mm]
>  
> Jetzt weiß ich nicht mehr was ich machen muss hab ich
> irgendwo ein fehler?
>  
> Ich wollte eigentlich die p-q formel anwenden aber da
> kommen nur falsche ergebnisse.
>  
>
>
>
>
> Die lösungen sind schon bekannt aber ich bekomme diese
> werte nicht heraus:
>  
> det(A [mm]-\lambda E)=\vmat{ 5-\lambda & -1 \\ 2 & 2-\lambda }\* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda }[/mm]
> = [mm](\lambda^{2}-7\lambda+12) \*(\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}=4, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=-1, \lambda_{4}=-2[/mm]
>  
>
> Gehe ich die sache evtl. zu kompliziert an?
>  Gibts da irgend ein Trick dahinter?
>  
> Ich bedanke mich im voraus.
>  Viele Grüße Raijin92
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Grüße
franzzink


Bezug
        
Bezug
Eigenwertberechnung 4x4 Matrix: Trick
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Sa 01.09.2012
Autor: Schadowmaster


> Gehe ich die sache evtl. zu kompliziert an?
>  Gibts da irgend ein Trick dahinter?


Ja, allerdings, den gibt es:
Deine Matrix ist eine sogenannte Blockdreiecksmatrix.
Sie hat die Form $A = [mm] \pmat{B & C \\ 0 & D}$, [/mm] wobei $B,C,D$ jeweils $2 [mm] \times [/mm] 2$ Matrizen sind und $0$ für einen $2 [mm] \times [/mm] 2$ Nullblock steht.
Für eine Matrix in der Form gilt $det(A) = det(B)*det(D)$, eine Aussage die dir wahrscheinlich schon begegnet ist, da die von dir gepostete Musterlösung so arbeitet.

lg

Schadow

Bezug
        
Bezug
Eigenwertberechnung 4x4 Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Sa 01.09.2012
Autor: Raijin92

Danke an alle die mir geholfen haben hat mir echt weiter geholfen.
Hab das mit dem ausklammern gar nicht gesehen.
Und dieser Trick ist auch sehr gut. Könnte mir eine menge Zeit damit Sparen
Naja ich habs jetzt gelöst und komme auch jetzt auf das ergebnis.
Echt super :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]