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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Eigenwerte
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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Mi 11.04.2007
Autor: Monsterzicke

Aufgabe
Seien K ein Körper, [mm] \lambda \in [/mm] K, n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}.
1. Seien m [mm] \in \IN, [/mm] A [mm] \in M_{n} [/mm] (K) und [mm] $P=a_{m}X^m+ a_{m-1}X^{m-1}+....+ a_{2} X^2+ a_{1}X+ a_{0} \in [/mm] K[X]$.

Zeigen Sie: [mm] $\lambda$ [/mm] ist ein Eigenwert von A [mm] \Rightarrow P(\lambda) [/mm] ist ein Eigenwert von P(A), wobei [mm] P(A):=a_{m}A^m+ a_{m-1}A^{m-1}+....+ a_{2}A^2+ a_{1}A+ a_{0}I_{n} [/mm]

2. Seien V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f: V--> V ein Endomorphismus.
Zeigen Sie: [mm] \ambda [/mm] ist ein Eigenwert von [mm] f\Rightarrow\lambda [/mm] ist ein Eigenwert von f*.

Hallo ihr Lieben!
Bei dieser Aufgabe verstehe ich gar nüscht! Eigenwerte kann ich mit MAtrizen berechnen, aber hier weiß ich nicht, was die von mir wollen. Bitte um Erklärung und evtl. Ansätze!!
Danke, LG

        
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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Mi 11.04.2007
Autor: ullim

Hi,

ich mache mal ein Beispiel, vielleicht wird's dann klarer.

Sei m=1 dann sind ist

[mm] P(x)=a_1*x+a_0 [/mm] und

[mm] P(A)=a_1*A+a_0*I [/mm]

Zu zeigen währe

[mm] P(\lambda)=a_1*\lambda+a_0 [/mm] ist Eigenwert von [mm] a_1*A+a_0*I, [/mm] also

[mm] (a_1*A+a_0*I)v=(a_1*\lambda+a_0)v [/mm] oder

[mm] a_1*(A-\lambda*I)v+a_0*(I-I)v=0 \gdw [/mm]

[mm] a_1*(A-\lambda*I)v=0. [/mm] Das ist aber richtig, weil [mm] \lambda [/mm] ja Eigenwert von A ist.

Ähnlich ist die Verallgemeinerung


Noch eine Frage, was ist f*.

mfg ullim



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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Mi 11.04.2007
Autor: Monsterzicke

Hi! Was ist bei dir das v?
Was f* ist, ist bei uns auch nicht angegeben...ich weiß es ehrlich gesagt nicht. Mit einem *  haben wir sonst duale Basen gekennzeichnet.
Und wie muss ich an die Verallgemeinerung rangehen?
LG

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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Mi 11.04.2007
Autor: ullim

Hi,

v ist der zu [mm] \lambda [/mm] gehörende Eigenvektor.

mfg ullim

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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Mi 11.04.2007
Autor: Monsterzicke

kann ich denn überhaupt m=1 setzen??? Geht das einfach so?


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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Mi 11.04.2007
Autor: felixf

Hallo!

> kann ich denn überhaupt m=1 setzen??? Geht das einfach so?

Nein, das kannst du allgemein nicht. Ullim hat dir nur einen Spezialfall vorgefuehrt, naemlich den Fall $m = 1$. Den allgemeinen Fall musst du selber loesen.

LG Felix


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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:39 Mi 11.04.2007
Autor: Monsterzicke

hääääää???????

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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:08 Do 12.04.2007
Autor: leduart

hallo
DU musst es fuer ein beliebiges m zeigen! was du zeigen musst kann man fuer ein spezielles m z.Bsp m=1 oder m= 2 erklaeren
Guss leduart

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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:02 Do 12.04.2007
Autor: Monsterzicke

Ich habe das jetzt gemacht, habe da aber dann 2 ziemlich lange Polynome gleichgesetzt und versucht, die Gleichung zu lösen....also, ich habe es  quasi  in den schritten gemacht wie für m=1 ?!

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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Do 12.04.2007
Autor: ullim

Hi,

zu zeigen ist ja, das aus [mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert von A folgt

[mm] p(\lambda)=\summe_{k=0}^{m}a_k\lambda^k [/mm] ist Eigenwert von [mm] p(A)=\summe_{k=0}^{m}a_kA^k [/mm]

Sei also v ein Eigevektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Betrachte

[mm] p(A)v-p(\lambda)v=\summe_{k=0}^{m}a_k(A^kv-\lambda^kv) [/mm]

wenn v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist, dann gilt [mm] Av=\lambda{v}, [/mm] daraus folgt [mm] A^2v=\lambda{Av}=\lambda^2{v} [/mm] und allgemein gilt deshalb [mm] A^kv=\lambda^kv [/mm]

Also gilt [mm] p(A)v=p(\lambda)v [/mm] und [mm] p(\lambda) [/mm] ist Eigenwert von p(A).

mfg ullim

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Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 Do 12.04.2007
Autor: Monsterzicke

Ok, danke! Ich hatte da wohl was falsch...

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