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| Aufgabe | | [mm]Es seien f. R^3\mapsto R^3 und g: R^3\mapsto R^3 lineare Abbildungen
mit den Eigenwerten x,y
mit x\neq y und keinen anderen Eigenwerten. Frage:[/mm] |
A) Gilt dimEig(f,x)=dimEig(g,x)=2, dann sind die darstellungsmatritzen bzgl. e3 ähnlich
B) Gilt Eig(f,x)=Eig(g,x) dann ist f diagonalisierbar, genau dann wenn g diagonalisierbar ist.
c) ist f injektiv, so auch g
Zu B) Ich find die Frage etwas seltsam, denn f und g sind nicht diag. da wir uns im [mm] R^3 [/mm] befinden und nur zwei paarweise verschiede Eigenwerte haben. Also falsch
A)
Ist war, kann es aber nicht begründen
C) f und g haben die gemeinsamen Eigenwerte und es gilt:
Eig(f,x)=(0) äquivalent zu kern f= (0) und weiter ?
Danke schon mal. Für ideen wäre ich dankbar
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Hi,
> Es seien f. [mm] \IR^3\to \IR^3 [/mm] und g: [mm] \IR^3\to \IR^3 [/mm] lineare Abbildungen mit den Eigenwerten x,y mit [mm] x\neq [/mm] y und keinen anderen Eigenwerten. Frage:
>
> A) Gilt [mm]\dim Eig(f,x)=\dim Eig(g,x)=2[/mm], dann sind die darstellungsmatritzen bzgl. e3 ähnlich
Was ist e3? Was soll "ähnlich" bedeuten?
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> B) Gilt Eig(f,x)=Eig(g,x) dann ist f diagonalisierbar, genau dann wenn g diagonalisierbar ist.
>
> c) ist f injektiv, so auch g
Man entscheide ob oben stehende Aussagen wahr sind.
>
> Zu B) Ich find die Frage etwas seltsam, denn f und g sind
> nicht diag. da wir uns im [mm]R^3[/mm] befinden und nur zwei
> paarweise verschiede Eigenwerte haben. Also falsch
Selber Denkfehler wie in deinem anderen Thread:
Daraus, dass es nur zwei verschiedene Eigenwerte gibt, folgt nicht, dass der Endomorphismus nicht diagonalisierbar ist. Es kann ja Eigenräume geben mit Dimension [mm] \geq [/mm] 2.
Diagonalisierbarkeit ist äquivalent zur Existenz einer aus Eigenvektoren bestehenden Basis des zugrundeliegenden VRs.
>
> A)
> Ist war, kann es aber nicht begründen
Wenn du überzeugt bist, dass das wahr ist, dann musst du doch eine Begründung dafür haben...
>
> C) f und g haben die gemeinsamen Eigenwerte und es gilt:
> Eig(f,x)=(0) äquivalent zu kern f= (0) und weiter ?
Was soll das heißen? Einen Eigenraum zu einem Eigenwert, der nur den Nullvektor enthält? Sowas gibt es nicht. Deine Äquivalenz ist mir leider absolut unklar.
Vielleicht könntest du dein Geschriebenes, insbesondere die Aufgabenstellung, noch einmal überprüfen. 
Gruß
Kamaleonti
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Zur ergänzung:
Bei A) sind die darstellungsmatritzen bzgl. dem e3= [mm]\pmat{1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1}[/mm]. Ähnlich sind Matritzen wenn es invertierbare matritzen T,T^-1 gibt für die gilt:
M(f)=T^-1*M(g)*T
Ob man hier mir dem Basiswechselsatz argumentieren kann? Aber was bring mir die Inof das dimEig(f,x)dimEig(g,x)=2 ? Die dimension des Kerns ist gleich 2 --> besteht aus einer 2x3 matrix die Transponierte matriy aus den Eigenvektoren. Aber wie weiß ich jetzt, dass die die Transponierte invertiernbar ist?
Zu B) hab ih keine Idee
Zu C) Ist wahr und folgt direkt aud der definition für injektivität
f(x)[mm]\neq[/mm]f(y) --> x[mm]\neq[/mm]y [mm]\gdw[/mm] G(x)[mm]\neq[/mm]G(y) --> x[mm]\neq[/mm]y ist gerade die noatation von injektiviät
Hoffe es ist so richtig.
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Hi,
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> Zur ergänzung:
> Bei A) sind die darstellungsmatrizen bzgl. dem e3= [mm]\pmat{1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}[/mm].
> Ähnlich sind [mm] Matri\red{z}en [/mm] $M(f)$ und $M(g)$, wenn es eine invertierbare Matrix T gibt für die gilt: [mm] M(f)=T^{-1}M(g)T
[/mm]
Mit dieser Definition für Ähnlichkeit von Matrizen lassen sich Eigenschaften ableiten. Z. B., dass ähnliche Matrizen wegen der Produktregel die gleiche Determinante haben müssen:
[mm] $\det(M(f))=\det(T^{-1}M(g)T)=\det(T^{-1})\det(M(g))\det(T)=\det(T^{-1})\det(T)\det(M(g))=\det(e3)\det(M(g))=\det(M(g))
[/mm]
Insbesondere sind die Eigenwerte ähnlicher Matrizen gleich.
Da M(f) und M(g) jedoch zwei verschiedene Eigenwerte haben, können sie nicht zu e3 ähnlich sein, da e3 als einzigen Eigenwert 1 hat.
Ich glaube aber irgendwie nicht, dass du das zeigen willst. Denn die Voraussetzung $ [mm] \dim Eig(f,x)=\dim [/mm] Eig(g,x)=2 $ hat damit nichts zu tun.
Auch die anderen Aufgaben kommen mir einfach unstimmig vor, sind sie wirklich originalgetreu?
>
> Ob man hier mir dem Basiswechselsatz argumentieren kann?
> Aber was bring mir die Inof das dimEig(f,x)dimEig(g,x)=2 ?
> Die dimension des Kerns ist gleich 2 --> besteht aus einer
> 2x3 matrix die Transponierte matriy aus den Eigenvektoren.
> Aber wie weiß ich jetzt, dass die die Transponierte
> invertiernbar ist?
Mir ist überhaupt nicht klar, was du damit meinst.
>
> Zu B) hab ih keine Idee
>
> Zu C) Ist wahr und folgt direkt aud der definition für
> injektivität
> f(x)[mm]\neq[/mm]f(y) --> x[mm]\neq[/mm]y [mm]\gdw[/mm] G(x)[mm]\neq[/mm]G(y) --> x[mm]\neq[/mm]y ist
> gerade die noatation von injektiviät
Das ist Unsinn. Du hast als "Beweis" nur die Behauptung geschrieben, ohne irgendwas zu beweisen oder zu begründen.
M(f) und M(g) haben doch offensichtlich eine Determinate [mm] \neq0. [/mm] Also sind die Spaltenvektoren linear unabhängig, der Kern ist also [mm] \{0\}. [/mm] Was sagt dir das ganz allgemein?
Kamaleonti
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Fr 11.02.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
>
> Zur ergänzung:
> Bei A) sind die darstellungsmatritzen bzgl. dem e3=
> [mm]\pmat{1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1}[/mm]. Ähnlich sind
> Matritzen wenn es invertierbare matritzen T,T^-1 gibt für
> die gilt:
>
> M(f)=T^-1*M(g)*T
>
> Ob man hier mir dem Basiswechselsatz argumentieren kann?
> Aber was bring mir die Inof das dimEig(f,x)dimEig(g,x)=2 ?
> Die dimension des Kerns ist gleich 2 --> besteht aus einer
> 2x3 matrix die Transponierte matriy aus den Eigenvektoren.
> Aber wie weiß ich jetzt, dass die die Transponierte
> invertiernbar ist?
Soll in dieser Aufgabe [mm] $e_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}$, [/mm] der 3. Vektor der kanonischen Basis, sein?
Dann bedeutet die Darstellungsmatrizen bzgl. dem [mm] $e_3$ [/mm] sind ähnlich,
die 3. Spalte der beiden Darstellungsmatrizen von f und g sind ähnlich.
Wenn dimEig(f,x) = dimEig(g,x) = 2 so ist zwangsläufig
dimEig(f,y) = dimEig(g,y) = 1 und damit f und g injektiv, also invertierbar.
>
> Zu B) hab ih keine Idee
Es könnte auch dimEig(f,x) = dimEig(g,x) = 1 (und
dimEig(f,y) = dimEig(g,y) = 1, aber auch dimEig(f,y) = dimEig(g,y) = 2) sein.
Ansonsten siehe bei A).
>
> Zu C) Ist wahr und folgt direkt aud der definition für
> injektivität
> f(x)[mm]\neq[/mm]f(y) --> x[mm]\neq[/mm]y [mm]\gdw[/mm] G(x)[mm]\neq[/mm]G(y) --> x[mm]\neq[/mm]y ist
> gerade die noatation von injektiviät
Ist ohne weitere Voraussetzungen falsch.
Siehe A) und B).
>
> Hoffe es ist so richtig.
>
>
Gruß
meili
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> [mm]Es seien f. R^3\mapsto R^3 und g: R^3\mapsto R^3 lineare Abbildungen
mit den Eigenwerten x,y
mit x\neq y und keinen anderen Eigenwerten. Frage:[/mm]
Hallo martinmax1234,
nur ein kleiner Hinweis :
damit Zwischenräume zwischen Wörtern in TeX nicht
einfach verschwinden (so wie im obigen Text), solltest
du die Zwischenräume speziell festlegen, mit der
Zeichenfolge "\ ", also Backslash+Space
obiger Text korrigiert:
$\ Es\ seien\ \ f:\ [mm] R^3\mapsto R^3\ [/mm] \ und\ \ g:\ [mm] R^3\mapsto R^3\ [/mm] \ lineare\ Abbildungen$
$\ mit\ den\ Eigenwerten\ x,y$
$\ mit\ [mm] x\neq\ [/mm] y\ und\ keinen\ anderen\ Eigenwerten.$
Frage:
.....
LG Al-Chwarizmi
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Naja, das Problem ist eher, daß der Mathe-Modus in TeX (und damit auch hier im Forum) nicht dafür gemacht ist, texte zu verfassen, sondern, um Formeln darzustellen. Du wirst auch feststellen, daß du im Mathe-Modus Probleme mit Sonderzeichen bekommst.
Die Dollarzeichen gehören NUR um die Formeln, nicht um den Text. wenn doch mal text in einer Formel auftaucht, dann kann man den z.B. in \text{} einschließen:
[mm] $N_{eff}=\frac{gezählte Straßen}{Anzahl an Autos}$
[/mm]
wird dann zu
[mm] $N_\text{eff}=\frac{\text{gezählte Straßen}}{\text{Anzahl an Autos}}$
[/mm]
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> Naja, das Problem ist eher, daß der Mathe-Modus in TeX
> (und damit auch hier im Forum) nicht dafür gemacht ist,
> Texte zu verfassen, sondern, um Formeln darzustellen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Da hast du natürlich Recht.
> Du wirst auch feststellen, daß du im Mathe-Modus Probleme
> mit Sonderzeichen bekommst.
Auch dies ist mir sehr wohl bekannt.
> Die Dollarzeichen gehören NUR um die Formeln, nicht um den
> Text. Wenn doch mal Text in einer Formel auftaucht, dann
> kann man den z.B. in \text{} einschließen:
>
> [mm]N_{eff}=\frac{gezählte Straßen}{Anzahl an Autos}[/mm]
>
> wird dann zu
>
> [mm]N_\text{eff}=\frac{\text{gezählte Straßen}}{\text{Anzahl an Autos}}[/mm]
Hallo (auch an Webmaster !)
Mit meiner Antwort wollte ich nur sagen, dass man,
wenn man mal ausnahmsweise einen (kleinen) Text
in eine Formel einbezieht, wenigstens das Problem
der dann fehlenden Zwischenräume leicht beheben
kann.
In vielen hier erscheinenden Artikeln stelle ich aber
ein anderes Problem fest. Da werden oft einzelne Formel-
bestandteile oder gar einzelne Symbole wie etwa [mm] \wedge [/mm] ,
[mm] \vee [/mm] , [mm] \Rightarrow [/mm] , [mm] \IR [/mm] etc. zwischen ein Paar von
Dollarzeichen oder eben zwischen [mm]..... [/mm]
gesetzt, anstatt die kompletten Formeln.
Dies führt dann dazu, dass derart mühselig erstellte
Formeln in der Folge auf mehrere Zeilen zerstückelt
und damit unleserlich werden.
Vielleicht wäre es nützlich, wenn der Hinweis, dass die
Zeichen [mm]..... [/mm] bzw. die Dollar-
zeichen für ganze Formeln gedacht sind, deutlich im
Abschnitt "Formeln im Forum" erscheinen würde, mit
einem ebenso deutlichen Hinweis auf den Abschnitt
"Platz zwischen den Zeichen" .
Ich würde auch vorschlagen, die einzige Beispiel-Eingabe
durch weitere, auch mit umfangreicheren Formeln, zu
ergänzen.
LG Al-Chwarizmi
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Also mich erwartet in kürze ne Klausur zur Linearen Algebra und es wird ein teil Verständnisfragen sein. Insgesammt gibts 60Punkte zu holen und der Verständnisteil beeinhaltet schon selbst 15Punkte. Also nicht gerade wenig.
Meine Frage ist, wie ich mich drauf vorbereiten kann? Wo fidne ich in irgendeiner weise zusammenhänge wie zum Bsp. meine Aufgaben in diesem Thread?
Ich weiß nicht wo ich suchen soll.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:43 Sa 12.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo,
wenn Du in Kürze Klausur schreibst, dann hast Du doch sicherlich das letzte halbe Jahr mit diesen Themen verbracht, oder?
Normalerweise lernt man da so Einiges ;)
Ansonsten würde ich mich mit den Definitionen und Rechenregeln auf die Determinante beziehen, wenn es um solche Fragen geht wie Eigenwerte, Eigenvektoren, Basis, Kern etc.
Aber nach einem ganzen Semester sollte man doch eigentlich gewisse Dinge schon können!?
Vielleicht hilft es Dir, wenn Du Dir alles mal aufmalst und dann versuchst nachzuvollziehen, warum was wie ist!
Zusammenhänge? Nun ja... das hängt ja alles miteinander zusammen! ;)
Wichtige Dinge sind grundsätzliche Rechenregeln, die Du beherschen solltest! Und Notationen!
Ansonsten: lernen!
Gruß
lexjou
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> Insgesammt gibts 60Punkte zu holen und der Verständnisteil
> beeinhaltet schon selbst 15Punkte. Also nicht gerade
> wenig.
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> Meine Frage ist, wie ich mich drauf vorbereiten kann?
Hallo,
für die Verständnisfragen muß man i.d.R. die wesentlichen Definitionen und die Aussagen der zentralen Sätze kennen.
Gruß v. Angela
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