Eigenwerte - 3x3 Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Floid |
| Aufgabe | Berechnen sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & -3 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3} [/mm] |
So, ich berechne also erstmal die Determinante.
so ich brauch also det [mm] (A-\lambda [/mm] I)
Ich entwickle nach Spalte 3
bekomme also
0*blabla + 0*blabla + [mm] (-3-\lambda)(-1)^{3+3} \pmat{ 1-\lambda & -3 \\ -3 & 1-\lambda }
[/mm]
weiterhin
[mm] (-3-\lambda)(-1)^{3+3}(\lambda²-2\lambda-8)
[/mm]
Am Ende
[mm] -\lambda³+\lambda²+14\lambda+24
[/mm]
wenn ich das also 0 setze komm ich nich weiter, ist etwas komisch für ein "akademisches Beispiel" lt. Funkyplot is die nullstelle bei 4,88.
Sehr schräg.
Ich hoffe mich kann jemand berichtigen und mir erklären wie ich EW und EV bekomme.
Danke Flo.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Florian,
du hast einen Vorzeichenfehler drin, dein char. Polynom muss:
[mm] p(\lambda)=-\lambda^3\red{-}\lambda^2+14+24
[/mm]
heißen.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Floid |
Super. Passiert mir immer wieder. Ich seh gleich x=-2 als 1. Nullstelle. Dann krieg ich den Rest auch.
Wie gehe ich jetzt bei den Eigenvektoren vor ? Davon hab ich noch nich so viel Ahnung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
du musst nur die Eigenwerte nach und nach (also immer nur einen) in die Matrix einsetzen und anschließend das homogene Gleichungssystem jeweils lösen. Das sollte bei den ganzen Nullen kein Problem sein. Wenn da sowas wie (nur ein Beispiel!):
[mm] 3x_2=0 [/mm] auftaucht, dann kannst du z.B. über [mm] x_1 [/mm] frei verfügen [mm] (x_1 [/mm] taucht ja nicht auf) und [mm] x_1=k [/mm] setzen usw.
Probier' es mal 
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Floid |
ich raff es nicht.
ich komm einmal auf
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und zweimal auf
[mm] \vektor{t \\ t \\ 0}
[/mm]
wobei t frei wählbar ist.
soll heissen es kam ab und an
-3x-3y = 0
-3x-3y = 0
als GLS
o.ä.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Floid |
Alles klar. Ich glaub jetzt hab ich es raus. Ich hab nur noch nie so eine Aufgabe gerechnet - deshalb das unverständnis.
Ist es prinzipiell üblich die Vektoren zu normieren ? - Ich werd es künftig einfach tun.
Vielen dank für deine Mühen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Flo,
übrigens:
> Berechnen sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -3 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3}[/mm]
> So, ich
> berechne also erstmal die Determinante.
>
> so ich brauch also det [mm](A-\lambda[/mm] I)
>
> Ich entwickle nach Spalte 3
>
> bekomme also
>
> 0*blabla + 0*blabla + [mm](-3-\lambda)(-1)^{3+3} \pmat{ 1-\lambda & -3 \\ -3 & 1-\lambda }[/mm]
>
> weiterhin
>
> [mm](-3-\lambda)(-1)^{3+3}(\lambda²-2\lambda-8)[/mm]
hier könntest du doch schon aufhören, denn:
[mm] (-3-\lambda)=-(\lambda+3) [/mm] <- dein erster Wert und
[mm] (\lambda^2-2\lambda-8)=(\lambda-4)*(\lambda+2) [/mm] <- die anderen beiden.
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Floid |
stimmt. ich muss unbedingt üben, das ich sowas sehe. da kann man sich einiges ersparen.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
<-- die Frage ist hier: für welchen EW kommst du da drauf? Und normieren kannst du noch.
)
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
