Eigenwerte & Diagonalelemente < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
ich muss ein Bisschen ausholen, um meine Frage stellen zu können. Zunächst ein Zitat aus meinem schlauen Buch:
"Eine Funktion f [mm] \in C^2(D, \IR) [/mm] hat bei [mm] x_0 [/mm] ein lokales Minimum bzw. Maximum, falls der Gradient verschwindet, d.h.,
grad [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} (x_0) [/mm] = 0,
und die Hesse-Matrix
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0)
[/mm]
positiv bzw. negativ definit ist."
Dann wird daran erinnert, dass eine symmetrische Matrix (wie die Hesse-Matrix) genau dann positiv (negativ) definit ist, wenn alle Eigenwerte positiv (negativ) sind. Außerdem daran, dass die Eigenwerte von symmetrischen Matrizen stets reel sind.
Dann geht es weiter:
"Da die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist, haben wir speziell in zwei Dimensionen folgende einfache Regel:
Der Gradient von f [mm] \in C^2(\IR^2, \IR) [/mm] verschwinde bei [mm] x_0. [/mm] Betrachten wir die Determinante der Hesse-Matrix:
Ist [mm] det(\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0)) [/mm] > 0, so handelt es sich um ein Minimum (Maximum), falls [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x_0) [/mm] > (<) 0 ist..."
Meine Frage hierzu: Diese Schlussfolgerung setzt doch voraus, dass die Diagonalelemente der (2,2)-Matrix die gleichen Vorzeichen wie die Eigenwerte haben, oder? Ist das denn immer garantiert? Wenn ich das richtig sehe, besteht folgender Zusammenhang zwischen Diagonalelementen und Eigenwerten:
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{a_{11} a_{22} \pm 2(a_{11} - a_{22})}{2}
[/mm]
Sehe gerade nicht, wieso das eine aus dem anderen folgt, hmmm ....
|
|
| |
|
Hiho,
deine Verwirrung ist berechtigt.
Ich sehe auch keinen Weg, wie man aus den Eigenwerten auf die Aussage kommt.
Man erhält (im Fall der posiviten Definitheit) recht schnell, dass die Diagonaleinträge das selbe Vorzeichen haben müssen, aber dass beide positiv sind ist mMn nicht trivial zu zeigen.
Was für den Satz hilft ist das ![[]](/images/popup.gif) Kriterium über führende Hauptminoren
Daraus folgt das gewünschte sofort.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Di 30.04.2019 | | Autor: | fred97 |
"Da die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist.... " stimmt ja hinten und vorne nicht !
Edit: hier stand großer Unfug !
Natürlich ist die Det. das Produkt der Eigenwerte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Di 30.04.2019 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo fred,
> "Da die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist.... "
> stimmt ja hinten und vorne nicht !
deine fachlichen Qualitäten lassen mich an der Aussage erst mal nicht zweifeln...
Wikipedia sagt allerdings etwas anderes und das war auch mein Kenntnisstand.
Zumindest so lange man bei einer [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix auch n Eigenwerte hat.
>
> Ist [mm]A= \pmat{ a & b \\ b & c }[/mm] eine sym. 2x2 - Matrix und
> sind [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] die Eigenwerte von A, so folgt mit
> Vieta oder einfachem nachrechnen:
>
> [mm]\lambda \mu[/mm] = [mm]-b^2.[/mm]
>
> Im Falle a [mm]\ne[/mm] 0 [mm]\ne[/mm] c ist das ganz weit weg von [mm]\det(A).[/mm]
Die Eigenwerte obiger Matrix sind die Nullstellen des char. Polynoms [mm] $\text{det}(A [/mm] - [mm] \xi [/mm] I) = [mm] \pmat{ a - \xi & b \\ b & c - \xi } [/mm] = [mm] (a-\xi)(c-\xi) [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = [mm] \xi^2 [/mm] - [mm] (a+c)\xi [/mm] + ac - [mm] b^2$
[/mm]
D.h. es gilt [mm] $\lambda,\mu [/mm] = [mm] \frac{a+c}{2} \pm \sqrt{ \frac{(a+c)^2}{4} - ac + b^2}$
[/mm]
D.h. [mm] $\lambda\mu [/mm] = [mm] \frac{(a+c)^2}{4} [/mm] - [mm] \frac{(a+c)^2}{4} [/mm] + ac - [mm] b^2 [/mm] = ac - [mm] b^2$ [/mm] was exakt [mm] $\text{det}(A)$ [/mm] entspricht.
Wo ist der Fehler?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Di 30.04.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> > "Da die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist.... "
> > stimmt ja hinten und vorne nicht !
> deine fachlichen Qualitäten lassen mich an der Aussage
> erst mal nicht zweifeln...
>
> Wikipedia
> sagt allerdings etwas anderes und das war auch mein
> Kenntnisstand.
> Zumindest so lange man bei einer [mm]n\times n[/mm]-Matrix auch n
> Eigenwerte hat.
>
> >
> > Ist [mm]A= \pmat{ a & b \\ b & c }[/mm] eine sym. 2x2 - Matrix und
> > sind [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] die Eigenwerte von A, so folgt mit
> > Vieta oder einfachem nachrechnen:
> >
> > [mm]\lambda \mu[/mm] = [mm]-b^2.[/mm]
> >
> > Im Falle a [mm]\ne[/mm] 0 [mm]\ne[/mm] c ist das ganz weit weg von [mm]\det(A).[/mm]
>
> Die Eigenwerte obiger Matrix sind die Nullstellen des char.
> Polynoms [mm]\text{det}(A - \xi I) = \pmat{ a - \xi & \xi b \\ \xi b & c - \xi } = (a-\xi)(c-\xi) - b^2 = \xi^2 - (a+c)\xi + ac - b^2[/mm]
>
> D.h. es gilt [mm]\lambda,\mu = \frac{a+c}{2} \pm \sqrt{ \frac{(a+c)^2}{4} - ac + b^2}[/mm]
>
> D.h. [mm]\lambda\mu = \frac{(a+c)^2}{4} - \frac{(a+c)^2}{4} + ac - b^2 = ac - b^2[/mm]
> was exakt [mm]\text{det}(A)[/mm] entspricht.
>
> Wo ist der Fehler?
Hallo Gono, ,
Du hast keinen Fehler gemacht. Als ich obige Antwort schrieb, war ich wohl komplett durch den Wind. Keine Ahnung, was durch meinen Schädel ging, schääääääm......
.
Gruß Fred
>
> Gruß,
> Gono
|
|
|
|
