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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Also ich habe eine Menge von (in diesem Fall paarweise verschiedenen) Eigenwerten [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ [/mm] zu einem $F [mm] \in [/mm] End(V)$ mit $dim(V) = n$ . Dann hatten wir in zu F eine darstellende Matrix in Diagonalgestalt aus den Eigenwerten konstruiert:
[mm] A:= \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\
0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \cdots & \lambda_{k-1} & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_k \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Dabei war meine Wahl der Eigenwerte auch relativ willkürlich. Aber mal angenommen ich habe einen Vektor [mm] $b_1$ [/mm] aus der Basis von V, wobei [mm] $b_1 \in [/mm] Eig(V, [mm] \lambda_1)$, [/mm] also dem Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda_1$. [/mm] Ist dann meine Matrix in dieser Diagonalgestalt eindeutig, oder kann es noch eine andere Matrix in Diagonalgestalt geben, die zu A ähnlich ist?
Oder noch anders: Kann ich die Reihenfolge der Eigenwerte auf der hauptdiagonale beliebig vertauschen, oder sind sie durch die Bilder der Basisvektoren, die sie ja darstellen ( [mm] $Ab_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 b_1$) [/mm] eindeutig festgelegt?
Gruß Micha 
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Hallo Michael!
Ich bin nicht sicher, ob ich Deine Frage richtig verstehe... denn wenn der Endomorphismus $F$ vorgegeben ist, dann ist die Matrix zu $F$ eindeutig bestimmt, sofern eine bestimmte Basis vorgegeben ist. Und eine andere Basis liefert eine andere Matrix.
Wenn Du also $k$ paarweise verschiedene Eigenwerte [mm] $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ [/mm] gefunden hast, dann gibt es natürlich auch linear unabhängige Vektoren [mm] $b_1, \ldots, b_k$ [/mm] mit [mm] $b_i \in [/mm] Eig(F, [mm] \lambda_i)$.
[/mm]
Bezüglich dieser Basis (eines Teilraumes, es sei denn $k = n$) hat $F$ die angegebene Matrix. Wenn Du die Basisvektoren permutierst erhältst Du eine andere Basis und die Diagonaleinträge permutieren sich. Diese neue Matrix bzgl. der neuen Basis ist ähnlich zu der alten (Vor- und Nachschaltung von Permutationsmatrizen liefert Ähnlichkeit). Insofern ist die Reihenfolge der Diagonalelemente recht beliebig.
Das gleiche gilt ja auch für die allgemeinere Jordansche Normalform: die Reihenfolge der "Jordankästchen" ist nicht eindeutig bestimmt - man zerlegt den Vektorraum in die Haupträume (diese sind $F$-invariant) und bastelt sich dann aus den einzelnen Basen eine große Basis von $V$ zusammen - und je nach Reihenfolge des Zusammensetzens entsteht die Reihenfolge in der Matrix.
Alles klar? 
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Lars!
> Hallo Michael!
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> Ich bin nicht sicher, ob ich Deine Frage richtig
> verstehe... denn wenn der Endomorphismus [mm]F[/mm] vorgegeben ist,
> dann ist die Matrix zu [mm]F[/mm] eindeutig bestimmt, sofern eine
> bestimmte Basis vorgegeben ist. Und eine andere Basis
> liefert eine andere Matrix.
>
> Wenn Du also [mm]k[/mm] paarweise verschiedene Eigenwerte [mm]\lambda_1, \ldots, \lambda_k[/mm]
> gefunden hast, dann gibt es natürlich auch linear
> unabhängige Vektoren [mm]b_1, \ldots, b_k[/mm] mit [mm]b_i \in Eig(F, \lambda_i)[/mm].
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> Bezüglich dieser Basis (eines Teilraumes, es sei denn [mm]k = n[/mm])
> hat [mm]F[/mm] die angegebene Matrix. Wenn Du die Basisvektoren
> permutierst erhältst Du eine andere Basis und die
> Diagonaleinträge permutieren sich. Diese neue Matrix bzgl.
> der neuen Basis ist ähnlich zu der alten (Vor- und
> Nachschaltung von Permutationsmatrizen liefert
> Ähnlichkeit). Insofern ist die Reihenfolge der
> Diagonalelemente recht beliebig.
>
> Das gleiche gilt ja auch für die allgemeinere Jordansche
> Normalform: die Reihenfolge der "Jordankästchen" ist nicht
> eindeutig bestimmt - man zerlegt den Vektorraum in die
> Haupträume (diese sind [mm]F[/mm]-invariant) und bastelt sich dann
> aus den einzelnen Basen eine große Basis von [mm]V[/mm] zusammen -
> und je nach Reihenfolge des Zusammensetzens entsteht die
> Reihenfolge in der Matrix.
>
> Alles klar?
>
> Lars
Also meine Frage ist beantwortet und bis auf den letzten Absatz verstehe ich auch alles, aber ich hatte die Jordansche Normalform noch nich. *g*
Das meine Vertauschung der Diagonalelemente eigentlich ein Basiswechsel ist, daran hab ich nich gedacht, ich Blödi. xD
Danke nochmal,
Michael
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