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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 So 25.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
| Aufgabe | Sie [mm] V=\IR{3} [/mm] ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit der Standardbasis S und [mm] \phi \in [/mm] End(V) mit
[mm] D_{S}(\phi)=\pmat{ 14 & -5 & -12 \\ 0 & 1 & 0 \\ 13 & -5 & -11 }
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von [mm] \phi
[/mm]
b) Bestimmen Sie die Eigenräume von [mm] \phi
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar ist.
d) Bestimmen Sie eine Matrix T für die [mm] T^{-1}D_{s}(\phi)T [/mm] Diagonalform hat. |
Hallo,
ich habe mich bisher an die Aufgabenteile a) und b) gewagt. Ich würde gerne wissen, ob ich die richtig gelöst habe, bevor ich mich an die anderen Aufgabenteile wage...
zu a)
[mm] Det(D_{S}(\phi)-aIn)=0
[/mm]
[mm] D_{S}(\phi)-aIn=\pmat{ 14 -a & -5 & -12 \\ 0 & 1 -a & 0 \\ 13 & -5 & -11-a }
[/mm]
dann habe ich nach der 2. Zeile entwickelt:
[mm] \vmat{ 14 -a & -5 & -12 \\ 0 & 1 -a & 0 \\ 13 & -5 & -11-a }
[/mm]
[mm] =-0\* \vmat{ -5 & -12 \\ -5 & -11-a } [/mm] + (1-a) [mm] \* \vmat{ 14 -a & -12 \\ 13 & -11-a } [/mm] -0 [mm] \* \vmat{ 14 -a & -5 \\ 13 & -5 & }
[/mm]
=(1-a)((14-a)(-11-a)+13 [mm] \* [/mm] 12)
= [mm] (1-a)(-154-14a+11a+a^{2}+156)
[/mm]
[mm] =(1-a)(a^{2}-3a+2)=(1-a)(a-2)(a-1)
[/mm]
Somit sind die Eigenwerte von [mm] \phi [/mm] 1,2,1
Stimmt das so?
zu b)
[mm] (\phi-a \* id_{v})\* [/mm] x = 0
lt. a) muss ich die Eigenwerte 1 und 2 betrachten.
I. Fall: a=1
[mm] \pmat{ 14 & -5 & -12 \\ 0 & 1 & 0 \\ 13 & -5 & -11}-\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]
= [mm] \pmat{ 13 & -5 & -12 \\ 0 & 0 & 0 \\ 13 & -5 & -12 }
[/mm]
[mm] 13x_{1}-5x_{2}-12x_{3}=0
[/mm]
sei nun [mm] s=x_{2}, t=x_{3}
[/mm]
[mm] x_{1}=\bruch{5}{13}\* [/mm] s + [mm] \bruch [/mm] {12}{13} [mm] \* [/mm] t
[mm] v_{1}=\pmat{\bruch{5}{13} \\ 1\\ 0} [/mm] + [mm] \pmat{\bruch{12}{13} \\ 0 \\1}
[/mm]
II. Fall: a=2
[mm] \pmat{ 14 & -5 & -12 \\ 0 & 1 & 0 \\ 13 & -5 & -11}-\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2} [/mm]
= [mm] \pmat{ 12 & -5 & -12 \\ 0 & 0 & 0 \\ 13 & -5 & -12 }
[/mm]
[mm] v_{2}=\pmat{0\\ 0 \\ 0 }
[/mm]
ist das korrekt? oder habe ich irgendwas falsches berechnet?
ich wäre echt super lieb von euch, wenn ihr mir kurz sagt, ob das so korrekt?
irgendwie habe ich die Befüchtung, dass ich für c und d andere Werte benötige, weil ich lt. a nur zwei unterschiedliche Eigenwerte raus habe und für c doch drei braucht, oder irre ich mich?
lg
kiwibox
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Hallo,
> Sie [mm]V=\IR{3}[/mm] ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] mit der Standardbasis S und
> [mm]\phi \in[/mm] End(V) mit
>
> [mm]D_{S}(\phi)=\pmat{ 14 & -5 & -12 \\ 0 & 1 & 0 \\ 13 & -5 & -11 }[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von [mm]\phi[/mm]
> b) Bestimmen Sie die Eigenräume von [mm]\phi[/mm]
> c) Zeigen Sie, dass [mm]\phi[/mm] diagonalisierbar ist.
> d) Bestimmen Sie eine Matrix T für die [mm]T^{-1}D_{s}(\phi)T[/mm]
> Diagonalform hat.
> Hallo,
>
> ich habe mich bisher an die Aufgabenteile a) und b) gewagt.
> Ich würde gerne wissen, ob ich die richtig gelöst habe,
> bevor ich mich an die anderen Aufgabenteile wage...
>
> zu a)
> [mm]Det(D_{S}(\phi)-aIn)=0[/mm]
>
> [mm]D_{S}(\phi)-aIn=\pmat{ 14 -a & -5 & -12 \\ 0 & 1 -a & 0 \\ 13 & -5 & -11-a }[/mm]
>
> dann habe ich nach der 2. Zeile entwickelt:
> [mm]\vmat{ 14 -a & -5 & -12 \\ 0 & 1 -a & 0 \\ 13 & -5 & -11-a }[/mm]
>
> [mm]=-0\* \vmat{ -5 & -12 \\ -5 & -11-a }[/mm] + (1-a) [mm]\* \vmat{ 14 -a & -12 \\ 13 & -11-a }[/mm]
> -0 [mm]\* \vmat{ 14 -a & -5 \\ 13 & -5 & }[/mm]
>
> =(1-a)((14-a)(-11-a)+13 [mm]\*[/mm] 12)
> = [mm](1-a)(-154-14a+11a+a^{2}+156)[/mm]
> [mm]=(1-a)(a^{2}-3a+2)=(1-a)(a-2)(a-1)[/mm]
>
> Somit sind die Eigenwerte von [mm]\phi[/mm] 1,2,1
> Stimmt das so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alles richtig!
> zu b)
> [mm](\phi-a \* id_{v})\*[/mm] x = 0
> lt. a) muss ich die Eigenwerte 1 und 2 betrachten.
>
> I. Fall: a=1
>
> [mm]\pmat{ 14 & -5 & -12 \\ 0 & 1 & 0 \\ 13 & -5 & -11}-\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 13 & -5 & -12 \\ 0 & 0 & 0 \\ 13 & -5 & -12 }[/mm]
>
> [mm]13x_{1}-5x_{2}-12x_{3}=0[/mm]
>
> sei nun [mm]s=x_{2}, t=x_{3}[/mm]
>
> [mm]x_{1}=\bruch{5}{13}\*[/mm] s + [mm]\bruch[/mm] {12}{13} [mm]\*[/mm] t
>
> [mm]v_{1}=\pmat{\bruch{5}{13} \\ 1\\ 0}[/mm] + [mm]\pmat{\bruch{12}{13} \\ 0 \\1}[/mm]
Hier auch alles richtig!
> II. Fall: a=2
>
> [mm]\pmat{ 14 & -5 & -12 \\ 0 & 1 & 0 \\ 13 & -5 & -11}-\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 12 & -5 & -12 \\ 0 & 0 & 0 \\ 13 & -5 & -12 }[/mm]
>
> [mm]v_{2}=\pmat{0\\ 0 \\ 0 }[/mm]
Hier hast du dich verrechnet, und zwar schon beim ersten Schritt.
Du hast den Kern von
[mm] \pmat{ 12 & -5 & -12 \\ 0 & -1 & 0 \\ 13 & -5 & -13 }
[/mm]
[mm] \to \pmat{1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
D.h. der Eigenraum wird durch den Vektor [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] aufgespannt.
> irgendwie habe ich die Befüchtung, dass ich für c und d
> andere Werte benötige, weil ich lt. a nur zwei
> unterschiedliche Eigenwerte raus habe und für c doch drei
> braucht, oder irre ich mich?
Nein, das ist okay so:
Das "Ur"-Diagonalisierbarkeitskriterium lautet: Es ex. eine Basis von V aus Eigenvektoren. Und das ist bei dir erfüllt.
Das Diagonalisierbarkeitskriterium, das auch oft verwendet wird, lautet: Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren und die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte stimmt mit der geometrischen Vielfachheit überein. Das ist bei dir doch erfüllt!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 So 25.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
danke für die schnelle Antwort. mir ist der Fehler selber nicht ins Auge gesprungen...danke.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:56 So 25.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
wie kann ich denn jetzt am besten Aufgabenteil lösen?
in der vorlesung wurde gesagt: V K-Vektorraum, [mm] \phi \in [/mm] End(V) heißt diagonalisierbar [mm] \gdw V=\oplus E_{\phi}(a) \gdw [/mm] V besitzt Basis aus Eigenvektoren.
und [mm] \oplus E_{\phi} [/mm] = [mm] \sum E_{\phi} (a_{i})
[/mm]
und [mm] E_{\phi}(a) :=Kern(\phi-a \* id_{v}) [/mm] ist der Eigenraum von [mm] \phi [/mm] zum Eigenwert a.
aber ich aber keine Idee, wie ich das zeigen muss. Kann die Definition noch anderes umgeschrieben, vereinfacht werden?
Kann mir jemand Tipps geben, wie ich da am besten anfangen kann?
wenn ich jetzt die Schritte nachvollziehen würde, die ich in einem Buch gefunden habe, kann ich das dann folgendermassen machen?
1) Eine Darstellungsmatrix aufstellen, wenn f nicht schon als solche gegeben ist
2) Das charakteristische Polynom bestimmen
3) Die Nullstellen dieses Polynoms bestimmen, diese sind die Eigenwerte von f. Wenn das charakteristische Polynom dabei nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt, dann wissen wir an dieser Stelle schon, dass f nicht diagonalisierbar ist.
4) Die zugehörigen Eigenräume bestimmen und damit auch ihre Dimensionen
5) Entweder prüfen, ob alle geometrischen und algebraischen Vielfachheiten übereinstimmen, oder ob die Summe der geometrischen Vielfachheiten n ergibt.
Die Schritte 1-3 sind schon in a) und b) gemacht worden.
Schritt 4: Die Eigenräume sind [mm] \pmat{\bruch{5}{13} \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \pmat{\bruch{12}{13} \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \pmat{1 \\ 0 \\1}, [/mm] die geometrische Vielfachheit ist 3 und somit diagonalierbar.
Reicht das zu zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 27.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 25.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
zu Aufgabenteil d)
da muss ich doch nur eine geeignete Basis aus Eigenvektoren finden, oder?
D.h. doch dann:
[mm] T=\pmat{ \pmat{\bruch{5}{13} \\ 1 \\ 0 } \pmat {\bruch {12}{13} \\0 \\1} \pmat {1 \\ 0 \\ 1}}
[/mm]
[mm] \rightarrow \pmat{\bruch{5}{13} & \bruch {12}{13} & 1 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1}
[/mm]
Ist das richtig? Oder habe ich da was falsch verstanden?
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> zu Aufgabenteil d)
>
> da muss ich doch nur eine geeignete Basis aus Eigenvektoren
> finden, oder?
> D.h. doch dann:
> [mm]T=\pmat{ \pmat{\bruch{5}{13} \\ 1 \\ 0 } \pmat {\bruch {12}{13} \\0 \\1} \pmat {1 \\ 0 \\ 1}}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow \pmat{\bruch{5}{13} & \bruch {12}{13} & 1 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1}[/mm]
>
> Ist das richtig? Oder habe ich da was falsch verstanden?
>
>
Zur Probe brauchst du ja nur mal mit
[mm]R:= \left( \begin {array}{ccc} {\frac {5}{13}}&{\frac {12}{13}}&1
\\ \noalign{\medskip}1&0&0\\ \noalign{\medskip}0&1&1\end {array}
\right) ,
\\
R^{-1}:= \left( \begin {array}{ccc} 0&1&0\\ \noalign{\medskip}-13&5&13
\\ \noalign{\medskip}13&-5&-12\end {array} \right),
\\
A:=\left( \begin {array}{ccc} 14&-5&-12\\ \noalign{\medskip}0&1&0
\\ \noalign{\medskip}13&-5&-11\end {array} \right)
[/mm]
folgendes berechnen [mm] $R^{-1}\cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] R=D$ und wie gewünscht, hast du dann deine Diagonalmatrix
[mm]D:= \left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ \noalign{\medskip}0&1&0
\\ \noalign{\medskip}0&0&2\end {array} \right) [/mm]
Damit existiert eine Basis zu der die Matrix A die Gestalt einer Diagonalmatrix hat. Damit ist die Matrix A diagonalisierbar.
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