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Hallo erstmal,
ich sitze gerade über einer Aufgabe, bei der ich nicht mehr richtig weiß wie ich weiterrechnen soll.
Also die Aufgabe ist folgende:
Berechnen Sie die Eigenwerte der Martix A= [mm] \pmat{ 2 & a ^{2} \\ b ^{2} & 2 }, [/mm] a [mm] \ge [/mm] 0, b > 0.
Soweit ist noch alles klar. Als Eigenwerte hab ich [mm] \lambda_{1}=2-ab [/mm] und [mm] \lambda_{2}=2+ab [/mm] rausbekommen.
Bestimmen Sie die zugehörigen Eigenräume. - Das konnte ich auch noch: einmal x= [mm] \pmat{ -a_{2} \\ ab } [/mm] und x= [mm] \pmat{ a_{2} \\ ab }.
[/mm]
Sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal.
So, und hier hats dann aufgehört mit meinem mathematischen Verständnis. Ich hab doch nur zwei Eigenwerte, in wie weit sollen die verschieden sein? oder meint man damit, dass man für a und b Zahlen einsetzten. Kannst du mit vielleicht bitte sagen, wie ich das rechnen kann? Mir würde auch schon ein ansatz genügen.
Dann geht die Aufgabe noch weiter: Für welche Werte von a,b kann aus den Eigenvektoren von A keine Basis des R ^{2} gebildet werden?
Mach ich das vielleicht mit dem Gram-Schidtschen Orthogonalisierungsverfahren? Oder wie bilde ich denn aus Vektoren ne Basis?
Danke schon mal für die Hilfe.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
also ich werd mein Bestes geben, um Dir ein paar Tips zu geben. Gänzlich lösen kann ich Deine Aufgabe wohl nicht. Zwei Vektoren sind ja genau dann orthogonal, wenn das Skalarprodukt der beiden gleich Null ist. Gefragt ist hier ob die zwei von Dir ermittelten Eigenvektoren orthogonal ist, also gerade ob ihr Skalarprodukt gleich null ist. Nun ist natürlich unklar welches Skalarprodukt in dem Dir gegebenen Vektorraum definiert ist. Das ist aber für die Lösung unabdingbar, denn Vektoren, die unter einem Skalarprodukt orthogonal sind müssen meines Wissens nicht unter allen Orthogonal sein. Mal angenommen wir haben das kanonische Skalarprodukt. Dann ist das Skalarprodukt Deiner Eigenvektoren -a^{4} + {a^{2} b^{2} Die Nullstellen dieser Gleichung stellen die Menge der Zahlen a und b dar, für die Deine Eigenvektoren orthogonal zueinander sind (mal ausgenommen a=0 \wedge b=0. In diesem Fall hast Du natürlich gar keine Eigenvektoren, denn 0 ist per. Def. nie Eigenvektor.
Die Frage nach den Zahlen a,b für die gilt, dass die Eigenvektoren keine Basis bilden würde ich folgendermaßen beantworten:
2 Vektoren des R^{2} sind genau dann eine Basis wenn sie linear unabhängig voneinander sind. Umformuliert: Das Gleichungssystem:
-ca^{2}+da{2}=0
cab+dab=0
darf für a,b nur die triviale Lösung (c=0 und d=0) haben.
Eine einfachere Methode die Zahlen a und b zu bestimmen ist in diesem Fall meiner Ansicht nach aber einfach die Determinante der Eigenvektoren zu bilden. Ist diese nämlich ungleich Null, so ist das äquivalent zur linearen Unabhängigkeit der Vektoren. Nun, da det( e_{1} , e_{2} )= -2a^{3}b sieht man schnell, dass det( e_{1} , e_{2} ) genau dann gleich Null sein muss, wenn a=0 oder b=0, und damit gilt, dass Du genau dann eine Eigenbasis hast (also linear unabhängige Eigenvektoren) wenn a=0 \vee b=0.
Also, ich hoffe das hilft Dir und würde mich freuen wenn jemand anders sich dazu auch noch äußern könnte - so gut kenne ich mich nämlich leider auch nicht aus. Schreib doch einfach nochmal ob Du mit meinen Tips die Aufgabe ganz lösen konntest und ob Du meine ansichten teilst.
Viele Grüße,
Klaus
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Hallo,
danke für die Hilfe. Ich denke ich hab die Aufgabe nun rausbekommen.
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