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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:44 Di 06.07.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
wär lieb wenn mir jemand helfen könnte bei der folgenden Aufgabe:
V sei der Vektorraum aller Polynome in einer Variablen x und vom Grad [mm] \le [/mm] 4 mit reellen Koeffizienten. Sei [mm] \alpha [/mm] der Endomorphismus mit
[mm] (\alpha [/mm] f) (x):= [mm] x^{2}* [/mm] f" (x)
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von [mm] \alpha
[/mm]
Liebe Grüße
Tine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Di 06.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Tine!
Das ist sehr praktisch: Berechne die darstellende Matrix dieser linearen Abbildung bezüglich der kanonischen Standardbasis [mm] $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$, [/mm] und du hast sofort eine Diagonalform (und kannst somit Eigenwerte und Eigenvektoren unmittelbar ablesen).
Versuche es doch einfach mal und melde dich wieder mit einem Ergebnis oder bei Problemen.
Liebe Grüße
Stefan
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ich raffs net!
kann das jemand mal an einem kleinen Beispiel zeigen, entweder hab ich brett vorm kopf oder ich raffs wirklich net!
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Wie Stefan richtig bemerkte: die Matrix ist der Schlüssel! Aber wie erhält man zu einem gegebenen Endomorphismus die Matrix bzgl. einer bestimmten Basis?
Die Antwort: man wende den Endomorphismus auf die Basisvektoren an und stelle die Bildvektoren wiederum in der Basis dar. Die auftretenden Koeffizienten sind die Spaltenvektoren der Matrix. Das alles folgt aus der Formel:
[mm] f(v_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij} v_i [/mm]
Dabei sind die [mm] v_1, \ldots v_n[/mm] die Basisvektoren und die Matrix hat die Einträge [mm] a_{ij} [/mm].
Im vorliegenden Beispiel ist der Endomorphismus ja gegeben durch:
[mm] \alpha(f) = x^2 \cdot f'' [/mm]
Wenden wir diesen auf die Basisvektoren an:
[mm] \alpha(1) = x^2 \cdot 0 = 0[/mm]
[mm] \alpha(x) = x^2 \cdot 0 = 0[/mm]
[mm] \alpha(x^2) = x^2 \cdot 2 = 2x^2[/mm]
[mm] \alpha(x^3) = x^2 \cdot 6x = 6x^3[/mm]
[mm] \alpha(x^4) = x^2 \cdot 12x^2 = 12x^4[/mm]
Damit hat die darstellende Matrix folgende Form:
[mm] A = \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&2&0&0 \\ 0&0&0&6&0 \\ 0&0&0&0&12 \end{pmatrix}[/mm]
Und die Eigenwerte sind demnach 0, 2, 6 und 12. Die Eigenvektoren dazu sind die Basisvektoren.
Gnometech
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Gnomtech
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> Und die Eigenwerte sind demnach 0, 2, 6 und 12. Die
> Eigenvektoren dazu sind die Basisvektoren.
>
Ist es nicht so, dass $0$ nicht zu den Eigenwerten zählt, dass dann vielmehr die Vektoren $1$ und $x$ den Kern der Abbildung bilden?
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Paul,
doch: $0$ zählt auch zu den Eigenwerten, wenn es einen nicht-trivialen Kern gibt.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo julius
vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich werde wohl meinen Kowalsky wieder einmal hervorkramen müssen! 
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:22 Do 08.07.2004 | | Autor: | Spacestar |
Hi leude,
gut ich wollte nur ein Beispiel haben und nicht die Aufgabe gelöst haben, aber trotzdem sehe ich jetzt wo ich falsch gelegen hatte und muss euch danken, das euch darüber gedanken gemacht habt und mir damit sehr geholfen, habs jetzt gerafft!
ciao
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