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Hi,
[Dateianhang nicht öffentlich]
diese Aufgabe hatte ich schon mal gerechnet und die müsste auch stimmen (Teil a)).
Jetzt habe ich bin ich mir bei b) bei meiner Antwort nicht sicher.
Ich würde sagen, dass es keine zwei Eigenvektoren geben kann, die senkrecht aufeinander stehen mit dem selben Eigenwert , da der Eigenwert angibt, um welchen Faktor ein Vektor gestreckt oder gestaucht wurde.
Prinzipiell würde ich sagen, wenn die Eigenvektoren nicht den selben Eigenwert haben, könnte es möglich sein, dass es das gibt oder? -- In einem Konkreten Fall könnte man alle Eigenvektoren einer Matrix mit dem Skalarprodukt daraufhin überprüfen ob sie senkrecht aufeinander stehen (Skalarprodukt der beiden Vektoren = 0 --> dann senkrecht)
Was sagt ihr dazu?
Danke für die HIlfe
Gruß Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Marvin |
Ganz so einfach ist das nicht. Es kann ja immer mehrere Eigenvektoren zu einem Eigenwert geben, die linear unabhängig sind. Sonst macht der Begriff Eigenraum ja gar keinen Sinn. Und in einem Eigenraum mit dim [mm] \ge [/mm] 2 kann mensch dann auch im Eigenraum zwei orthogonale Vektoren konstruieren, die dann ja wieder Eigenvektoren sein müssen.
Für dein Beispiel würde ich zuerst konkret die Eigenvektoren berechnen. Für [mm] \lambda [/mm] = -2 folgendermaßen:
B = A - (-2) [mm] E_3=\pmat{ -8 & -2 & -16 \\ 8 & 2 & 16 \\ 4 & 1 & 8 }
[/mm]
Der Lösungsraum von B [mm] \cdot [/mm] x = 0 entspricht dem Eigenraum von A zu [mm] \lambda.
[/mm]
Offensichtlich sind alle Zeilen linear abhängig und die Matrix B lässt sich umformen zu:
[mm] \pmat{ -8 & -2 & -16 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Das führt zur Gleichung: [mm] -8x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 16x_3 [/mm] = 0 [mm] \gdw 4x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] 8x_3 [/mm] =0 [mm] (\*)
[/mm]
Eine mögliche Lösung für die Gleichung ist der Vektor v = [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Dann berechnest du das Skalarprodukt von v mit einem unbestimmten Vektor w und erhältst:
[mm] -2w_1 [/mm] + [mm] w_3 [/mm] = 0 [mm] (\* \*)
[/mm]
Und dann berechnest du die Lösung des linearen Gleichungssystems von [mm] (\*) [/mm] und [mm] (\* \*). [/mm] Und damit hast du einen Eigenvektor zu -2, der orthogonal (senkrecht) zu einem anderen Eigenvektor v von -2 steht.
Ich hab jetzt schon viel zu viel vorgemacht, glaube ich. Ich hoffe, du rechnest das alles wirklich selbst nochmal nach.
Liebe Grüße,
Marvin
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