Eigenwerte Eigenvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Sa 12.04.2008 | | Autor: | hayabusa |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrizen (a,b,t [mm] \in \IR) [/mm]
A= [mm] \pmat{ a & t & 0 \\ t & b & t \\ 0 & t & a\\ }, [/mm] B = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ }
[/mm]
Aufgabe : Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A und B. |
Ich habe zunächst die Eigenwerte für A berechnet.
Sie lauten:
[mm] \lambda_1=a [/mm] ,
[mm] \lambda_2=\bruch{1}{2} *\{ (b+a) + \wurzel{(b-a)^2 +8t^2}\}, [/mm]
[mm] \lambda_3=\bruch{1}{2} *\{ (b+a)- \wurzel{(b-a)^2 +8t^2}\}. [/mm]
Eigenvektor von [mm] \lambda_2:
[/mm]
I [mm] (a-\lambda_2)*x_1+t*x_2+0*x_3=0
[/mm]
II [mm] t*x_1+(b-\lambda_2)*x_2+t*x_3=0
[/mm]
III [mm] 0*x_1+ t*x_2+ (a-\lambda_2)*x_3=0 [/mm]
Aus I folgt: [mm] x_1= -\bruch{t}{(a-\lambda_2)}*x_2
[/mm]
Aus II folgt: [mm] x_1= -\bruch{(b-\lambda_2)}{t}*x_2-x_3
[/mm]
Aus III folgt : [mm] x_3= -\bruch{t}{(a-\lambda_2)}*x_2 [/mm]
Setze [mm] x_3 [/mm] in II ein : [mm] x_1= -\bruch{(b-\lambda_2)}{t}*x_2 [/mm] + [mm] \bruch{t}{(a-\lambda_2)}*x_2 [/mm] = [mm] \bruch{(\lambda_2-b)*(a-\lambda_2)+t^2}{(a-\lambda_2)*t}*x_2
[/mm]
Vergleich von [mm] x_1 [/mm] (aus I) mit [mm] x_1 [/mm] (aus obiger Gleichung):
Wenn ich vergleiche, erhalte ich als zwingende Bedingung,
dass [mm] t\not=0 [/mm] sein muss und [mm] x_2=0 [/mm] ist.
Mein Problem ist folgendes:
Für das obige lineare Gleichungssystem aus
[mm] \vektor{A - \lambda_2*I }*\vec{x}=\vec{0}
[/mm]
erhalte ich als Lösung des Gleichungssystems:
[mm] x_1=0, x_2=0 [/mm] und [mm] x_3=0.
[/mm]
Meines Wissens zufolge ist ein Nullvektor kein Eigenvektor. Somit kann [mm] \lambda_2 [/mm] kein Eigenwert sein.
Ist diese Schlussfolgerung richtig, oder habe ich etwas nicht beachtet?
PS: Tut mir leid, dass es so unübersichtlich geworden ist, aber ich wollte all meine Gedankengänge hinschreiben, damit es leichter wird, mögliche Denkfehler zu entdecken.
Gruß hayabusa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben seien zwei 3 [mm]\times[/mm] 3 Matrizen (a,b,t [mm]\in \IR)[/mm]
>
> A= [mm]\pmat{ a & t & 0 \\ t & b & t \\ 0 & t & a\\ },[/mm] B =
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ }[/mm]
>
> Aufgabe : Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren
> von A und B.
> Ich habe zunächst die Eigenwerte für A berechnet.
>
> Sie lauten:
> [mm]\lambda_1=a[/mm] ,
> [mm]\lambda_2=\bruch{1}{2} *\{ (b+a) + \wurzel{(b-a)^2 +8t^2}\},[/mm]
>
> [mm]\lambda_3=\bruch{1}{2} *\{ (b+a)- \wurzel{(b-a)^2 +8t^2}\}.[/mm]
>
> Mein Problem ist folgendes:
> Für das lineare Gleichungssystem aus
> [mm]\vektor{A - \lambda_2*I }*\vec{x}=\vec{0}[/mm]
> erhalte ich als
> Lösung des Gleichungssystems:
> [mm]x_1=0, x_2=0[/mm] und [mm]x_3=0.[/mm]
>
>
> Aber meines Wissens zufolge ist ein Nullvektor kein
> Eigenvektor. Somit kann [mm]\lambda_2[/mm] kein Eigenwert sein.
>
>
> Ist diese Schlussfolgerung richtig, oder habe ich etwas
> nicht beachtet?
Hallo,
nein, Du hast völlig recht, Du kannst hieran sehen, daß Du einen Rechenfehler gemacht hast - wo auch immer.
Ich könnte mir vorstellen, daß irgendein Mißgeschick passiert ist, als Du versucht hast, der ausgerechneten Determinante eine passable Form zu geben.
Gruß v. Angela
Nachtrag: Du mußt bei Rechnen später wahrscheinlich mit dem t etwas aufpassen. 0 unter der Wurzel? Negative Wurzel?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Sa 12.04.2008 | | Autor: | hayabusa |
Hallo Angela,
Ich habe nochmal meine Rechenschritte nachgetragen, als Du mir gerade antworten wolltest (hätte das mal vorher tuen müssen:).
Ich verstehe deine Antwort nicht ganz:
> Determinante eine passable Form zu geben.
>
> Gruß v. Angela
>
> Nachtrag: Du mußt bei Rechnen später wahrscheinlich mit
> dem t etwas aufpassen. 0 unter der Wurzel? Negative Wurzel?
Habe folgende Determinante zur Berechnung der Eigenwerte benutzt
[mm] \vmat{ a-\lambda & t & 0 \\ t & b-\lambda & t \\ 0 & t & a-\lambda }=
[/mm]
[mm] (a-\lambda)[(b-\lambda)*(a-\lambda)-2t^2]
[/mm]
Daraus erhalte ich die weiter oben erwähnten Eigenwerte.
Was meinst Du mit passabler Form der Determinante?
Wie kommst Du darauf, dass das Problem bei t liegt?
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> Habe folgende Determinante zur Berechnung der Eigenwerte
> benutzt
>
> [mm]\vmat{ a-\lambda & t & 0 \\ t & b-\lambda & t \\ 0 & t & a-\lambda }=[/mm]
>
> [mm](a-\lambda)[(b-\lambda)*(a-\lambda)-2t^2][/mm]
>
> Daraus erhalte ich die weiter oben erwähnten Eigenwerte.
>
> Was meinst Du mit passabler Form der Determinante?
Hallo,
ich meinte Ausklammern usw. ist aber richtig, ebenso stimmen Deine Eigenwerte.
> Wie kommst Du darauf, dass das Problem bei t liegt?
Wenn Du unter der Wurzel die Null hast, also a=b und t=0, gibt's nur einen Eigenwerte, nämlich a.
Wenn t=0 ist, sind, je nach dem, ob a<b oder a>b die Eigenwerte
$ [mm] \lambda_2=\bruch{1}{2} \cdot{}\{ (b+a) + (b-a)\} [/mm] $ = b
$ [mm] \lambda_3=\bruch{1}{2} \cdot{}\{ (b+a)- (b-a)\}$=a,
[/mm]
also doppelter Eigenwert a,
bzw.
$ [mm] \lambda_2=\bruch{1}{2} \cdot{}\{ (b+a) + (a-b)\} [/mm] $ = a
$ [mm] \lambda_3=\bruch{1}{2} \cdot{}\{ (b+a)- (a-b)\}$=b,
[/mm]
also auch doppelter Eigenwert a,
Diese Fälle solltest Du bei der Lösung des GSs unbedingt getrennt untersuchen.
Löse das GS möglichst systematisch, um nicht die Übersicht zu verlieren.
Die Folgerung, die Du für [mm] x_2 [/mm] ziehst, ist verkehrt.
Aus ax=bx folgt x=0 nur, falls [mm] a\not=b.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Sa 12.04.2008 | | Autor: | hayabusa |
Danke, Angela.
Habe jetzt verstanden, was ich noch zu tun habe. Ich habe nicht vorher untersucht, welche Eigenwerte möglich sind.
Echt nett von Dir, dass Du mir geholfen hast.
Gruß hayabusa
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