Eigenwerte,Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Di 22.06.2004 | | Autor: | mausi |
Hallo,ich soll diese Aufgabe lösen
[mm] \begin{pmatrix}
a & b & 0 \\
b & a & b \\
0 & b & a
\end{pmatrix} [/mm]
a) Zeige: alle Eigenwerte sind reell.
b)Berechne die Eigenwerte und die Eigenvektoren von A für [mm]b = \wurzel{2a}[/mm]
ich hab keine Ahnung,leider nicht in der Übung gewesen.
Wer kann mir helfen???
Danke schon im vorraus
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Hallo Mausi.
Ich weiß zwar selbst nicht, wie man an die Eigenvektoren kommt, aber Eigenwerte kann ich dir erklären. Und da dir noch niemand geantwortet hat, dachte ich, das sei besser als nichts. Also die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, welches du folgendermaßen berechnest: P=det(XI-A) wobei "P" für char. Poly. steht, "I" für Einheitsmatrix und "A" die gegebene Matrix ist. Du multiplizierst also X mit der Einheitsmatrix (dann erhältst du eine Matrix, auf deren Hauptdiagonalen X und ansonsten nur 0 steht) und subtrahierst deine Matrix (du erhältst deine gegebene Matrix, auf deren Hauptdiagonalen X- die Zahl, die da steht und überall sonst die Gegenzahl) und berechnest davon die Determinante. Die Determinante setzt du dann gleich 0 und löst nach X auf und das sind dann die Eigenwerte. Ciao Eva
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Di 22.06.2004 | | Autor: | mausi |
gut dann versuch ich es mal:
also:
[mm] X*\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
x & 0 & 0 \\
0 & x & 0 \\
0 & 0 & x
\end{pmatrix} [/mm]
so dann
[mm] \begin{pmatrix}
x & 0 & 0 \\
0 & x & 0 \\
0 & 0 & x
\end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix}
a & b & 0 \\
b & a & b \\
0 & b & a
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
x-a & -b & 0 \\
-b & x-a & -b \\
0 & -b & x-a
\end{pmatrix} [/mm]
so jetzt würde ich mit der cramerschen regel versuchen die determinante zu bestimmen
[mm] ((x-a)(x-a)(x-a)+(-a*(-b)*0)+(0*(-b)*(-b))-(0*(x-a)*0)-(-b)*(-b)(x-a)-((x-a)*(-b)*(-a)=x^3-a^3-b^2x-ab^2-a^2b-abx
[/mm]
stimmt das in etwa so weit???und dann müsste ich ja noch für[mm] b=\wurzel{2a}[/mm] einsetzen oder?
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Hi Mausi,
ich habe das Kapitel vor kurzenm auch gelernt, aber ich habe überall nur folgende Formel gesehen und zwar:
det(A- [mm]\lambda[/mm]I) = charakteristisches Polynom, wobei A deine vorgegebene Matrix ist und I die normale Einheitsmatrix.
dann muss man glaube ich die Determinate deiner ausgerechneten neuen Matrix ausrechnen...
Und das ist je nach dem wie groß die Matrix ist, mehr oder weniger kompliziert!!! (Finde ich)
Viele Grüße, Cathrine
PS: Ich hoffe, ich konnte dir ein bisschen helfen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 22.06.2004 | | Autor: | mausi |
Danke Cathrine
aber kann mir jemand sagen ob mein Lösungsweg richtig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Di 22.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
was hat es denn für eine Bewandtnis mit den Eigenwerten und Eigenvektoren?
Nun, eine Matrix bedeutet ja (unter anderem) eine lineare Abbildung. Wenn die Lineare Abbildung den gleichen Bildraum hat wie die Urbildmenge, dann kann es sehr wohl sein, dass es Vektoren gibt, die unter dieser Abbildung die Richtung nicht ändern, das heisst, dass sie nur um einen Faktor gestreckt werden. Als Beispiel im [mm] $\mathbb{R}^{3}$ [/mm] mit den Koordinatenachsen $x$, $y$ und $z$:
[mm] $\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$
[/mm]
Hier stellst du relativ einfach fest, dass der Vektor mit den Koordinaten $(0,0,1)$ um den Faktor $2$ gestreckt wird:
[mm] $\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$
[/mm]
Man sagt, [mm] $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ [/mm] sei ein Eigenvektor mit dem Eigenwert $2$.
Du siehst also: die Sachen sind viel einfacher als sie scheinen! 
Ein Eigenvektor streckt sich unter der Abbildung, der Streckungsfaktor ist sein zugehöriger Eigenwert.
Auf der Suche nach den Eigenwerten, ich nenne sie mal ganz allgemein [mm] $\lambda$, [/mm] gilt es also immer, Eigenvektoren zu finden und für diese den zugehörigen Eigenwert. Oder auch umgekehrt: Eigenwerte zu finden und den/die zugehörigen Eigenvektoren.
Das kann man so ausdrücken:
$A [mm] \vec{x}=\lambda [/mm] * [mm] \vec{x}$, [/mm] wobei [mm] $\vec{x}$ [/mm] ein Eigenvektor ist.
Diese Gleichung etwas umgeformt:
$A [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{x}$
[/mm]
$A [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * (E [mm] \vec{x})$ [/mm] ($E$ ist die Einheitsmatrix)
$A [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] * E) [mm] \vec{x}$
[/mm]
$A [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] (\lambda [/mm] * E) [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0}$
[/mm]
$(A - [mm] (\lambda [/mm] * E)) [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0}$
[/mm]
Wenn du jetzt über die Abbildung, die durch die Matrix $(A - [mm] (\lambda [/mm] * E))$ repräsentiert wird, etwas nachdenkst, dann merkst du, dass sie den Vektor [mm] $\vec{x}$ [/mm] auf den Vektor [mm] $\vec{0}$ [/mm] abbildet, dass die Abbildung also einen positiven Defekt hat. Und für solche Matrizen gilt bekanntlich $det(A) = 0$. (Ach ja!: der Nullvektor gilt nicht als Eigenvektor, obschon formal natürlich die oben angegebene Gleichung mit [mm] $\vec{x}=\vec{0}$ [/mm] erfüllt ist!) 
Jetzt brauchst du also nur die Determinante zu berechnen und herauszufinden, für welche [mm] $\lambda$-Werte [/mm] diese Determinante den Wert $0$ ergibt.
Die Berechnung der Determinante führt also auf ein Polynom in [mm] $\lambda$. [/mm] Dieses Polynom wird als das Charakteristische Polynom bezeichnet.
Dein Ansatz ist also in Ordnung (das Rechnen von [mm] $det(\lambda [/mm] * E - A)$ anstelle von $det(A - [mm] \lambda [/mm] * E)$ hat für die Ermittlung der Eigenwerte keinen Einfluss, ist nur von der Vorgehensweise ein Wenig unschön).
Du hast aber noch ein Paar Flüchtigkeitsfehler eingebaut
Ich würde empfehlen, bei der Berechnung der Determinate jene Terme, welche als Faktor eine $0$ aufweisen, schon gar nicht hinzuschreiben. Das Ganze sieht dann etwas übersichtlicher aus, womit sich Flüchtigkeitsfehler tendenziell seltener einschleichen.
Im Weiteren würde ich auch nicht allzu früh mit dem Ausmultiplizieren der Klammerausdrücke beginnen, weil man oft die Chance hat, sogar noch Faktoren auszuklammern und sich dadurch die Nullstellen des Polynoms leichter finden lassen. (Wir müssen ja herausfinden, für welche [mm] $\lambda$ [/mm] das Charakteristische Polynom den Wert $0$ hat.)
Ich zeigs vielleicht am besten gleich an deinem Beispiel:
Gesucht ist die Determinante von [mm] $A-\lambda{E}$:
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix}a-\lambda &b&0\\b&a-\lambda &b\\0&b&a-\lambda \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $(a-\lambda)^{3}-b^{2}(a-\lambda)-b^{2}(a-\lambda)=0$
[/mm]
[mm] $(a-\lambda)((a-\lambda)^{2}-2b^{2})=0$
[/mm]
In dieser Form lässt sich das Ganze relativ einfach nach [mm] $\lambda$ [/mm] auflösen.
Kannst du das bis hierher vielleicht einmal versuchen und die Aufgabe a) lösen?
Wenn du dann nicht mehr weiter kommst: du weisst ja, was du zu tun hast! (Fragen???? Jaa!!!)
Mit lieben Grüssen nach Cottbus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:37 Mi 23.06.2004 | | Autor: | mausi |
Ojeeeh wie soll ich das denn auflösen???Auch wenn du sagst es ist einfach,sehe ich leider nicht den Weg :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:03 Mi 23.06.2004 | | Autor: | mausi |
Danke Paulus
also ich würde ja raus kriegen das [mm] \lambda [/mm] = a ist und das in die 2. eingesezt ergibt ja ne 0 in der Klammer und für b = 0
aber wie hängt das jetzt mit der Aussage zusammen,das alle Eigenwerte reell sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
> Danke Paulus
> also ich würde ja raus kriegen das [mm]\lambda[/mm] = a ist und das
> in die 2. eingesezt ergibt ja ne 0 in der Klammer und für b
> = 0
Oh nein, das darfst du keinesfalls in der Gleichung $2$ einsetzten. Hier handelst es sich nicht um ein Gleichungssystem, sondern um $2$ einzelne Gleichnungen!
Aus der 1. Gleichung hast du also einen Eigenwert [mm] $\lambda [/mm] _{1} = a$ erhalten. Aus der 2. Gleichung solltest du zwei weitere Eigenwerte erhalten. Du darfst nicht einfach $b=0$ setzen. $b$ ist ja gegeben, gesucht ist das [mm] $\lambda$. [/mm]
> aber wie hängt das jetzt mit der Aussage zusammen,das alle
> Eigenwerte reell sind?
>
Also, ich denke mal, dass in der Aufgabe, die du sicher ein wenig abgekürzt hast, irgendwo noch angegeben ist, dass $a$ und $b$ reelle Zahlen sind. Dein 1. Eigenvektor ist $= a$, was somit eine reelle Zahl ist.
Kannst du jetzt die anderen Lösungen auch noch suchen? (Einfach die Gleichung II) nach [mm] $\lambda$ [/mm] auflösen und überlegen, ob diese Lösungen reell sind. Sollte bei der Lösung eine Wurzel auftauchen, dann weisst du ja: die Wurzeln aus einer positiven Zahl sind reell, jene aus einer negativen Zahl nicht, die sind imaginär.)
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 Mi 23.06.2004 | | Autor: | mausi |
kommt da [mm] \lambda_2 = a-\wurzel{2}b [/mm] raus??? und das is ja auch reell
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Chriskoi |
Hallo nochmal,
Also sind die drei Eigenwerte alle reell, da [mm]a\in\IN[/mm].
Zu den Eigenvektoren. Man braucht doch dann nur drei neue Matrizen für den Vektor x aufstellen.
[mm]\begin{vmatrix}
a-a & b & 0 \\
b & a-a & b \\
0 & b & a-a
\end{vmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\begin{vmatrix}
a+a & b & 0 \\
b & a+a & b \\
0 & b & a+a
\end{vmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\begin{vmatrix}
a-3a & b & 0 \\
b & a-3a & b \\
0 & b & a-3a
\end{vmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Chriskoi
Ja, genau so ist es! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Dabei solltest du aber das $b$ auch noch ersetzen, die Eigenwerte gelten ja nur, wenn [mm] $b=\wurzel{2a}$ [/mm] ist.
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Chriskoi |
> Hallo nochmal,
>
> Also sind die drei Eigenwerte alle reell, da [mm]a\in\IN[/mm].
>
> Zu den Eigenvektoren. Man braucht doch dann nur drei neue
> Matrizen für den Vektor x aufstellen.
>
> [mm]\begin{vmatrix}
a-a & b & 0 \\
b & a-a & b \\
0 & b & a-a
\end{vmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Ergebnis:
[mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]\begin{vmatrix}
a+a & b & 0 \\
b & a+a & b \\
0 & b & a+a
\end{vmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Ergebnis:
[mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 \\ \wurzel{2} \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]\begin{vmatrix}
a-3a & b & 0 \\
b & a-3a & b \\
0 & b & a-3a
\end{vmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Ergebnis:
[mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 \\ -\wurzel{2} \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Richtig?
>
Richtig?
Mfg
Chriskoi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Chriskoi |
Hallo paulus,
danke erstmal soweit. Ich habe nochmal nachgerechnet und die Ergebnisse unten verbessert. Kann ich dann wenn sie richtig sind nur die Vektoren hinter dem t als Lösung für die Eigenvektoren angeben?
Reicht es für das Zeigen das die Eigenwerte reell sind, so wie wir das gemacht haben? Sprich ausrechnen und da es nur Vielfache einer reellen Zahl sind, sind sie auch reell?!?
> > Hallo nochmal,
> >
> > Also sind die drei Eigenwerte alle reell, da [mm]a\in\IN[/mm].
> >
> > Zu den Eigenvektoren. Man braucht doch dann nur drei neue
>
> > Matrizen für den Vektor x aufstellen.
> >
> > [mm]\begin{vmatrix}
a-a & b & 0 \\
b & a-a & b \\
0 & b & a-a
\end{vmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
Ergebnis:
[mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\begin{vmatrix}
a+a & b & 0 \\
b & a+a & b \\
0 & b & a+a
\end{vmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
Ergebnis:
[mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \wurzel{2} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\begin{vmatrix}
a-3a & b & 0 \\
b & a-3a & b \\
0 & b & a-3a
\end{vmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
Ergebnis:
[mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ -\wurzel{2} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> >
> > Richtig?
> >
> Richtig?
>
Mfg
Chriskoi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hakko Chriskoi
> Hallo paulus,
>
> danke erstmal soweit. Ich habe nochmal nachgerechnet und
> die Ergebnisse unten verbessert. Kann ich dann wenn sie
> richtig sind nur die Vektoren hinter dem t als Lösung für
> die Eigenvektoren angeben?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, erstmal, da es sich ja garantiert um ein homogenes Gleichungssystem handelt, muss der Vektor "vor dem $t$" sicher der Nullvektor sein! Das haben Eigenvektoren so an sich.
Und dann darfst du wirklich für jeden Eigenvektor einen aussuchen, sprich: für t einen fixen Wert einsetzen. Es sei denn, gesucht ist die Menge aller Eigenvektoren. Dann musst du natürlich die Parameterform beibehalten, aber $t=0$ ausschliessen! (Der Nullvektor ist ja kein Eigenvektor)
Für die praktischen Anwendungen wird man aber meistens einen ganz bestimmten aussuchen, weil man diese dann als Basisvektoren verwenden will. Mit dieser Basis wird ja die Lineare Abbildung besonders einfach mit einer Matrix dargestellt!
> Reicht es für das Zeigen das die Eigenwerte reell sind, so
> wie wir das gemacht haben? Sprich ausrechnen und da es nur
> Vielfache einer reellen Zahl sind, sind sie auch reell?!?
>
Ja, ich denke, das reicht!
> Ergebnis:
>
> [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ -\wurzel{2} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
Da habe ich in der ersten Komponente eine $1$, nicht nur eine Halbe. Kannst du das nochmals nachrechnen?
Mit lieben Grüssen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Chriskoi |
> Hakko Chriskoi
>
> > Hallo paulus,
> >
> > danke erstmal soweit. Ich habe nochmal nachgerechnet und
>
> > die Ergebnisse unten verbessert. Kann ich dann wenn sie
>
> > richtig sind nur die Vektoren hinter dem t als Lösung für
>
> > die Eigenvektoren angeben?
> >
>
> Ja, erstmal, da es sich ja garantiert um ein homogenes
> Gleichungssystem handelt, muss der Vektor "vor dem [mm]t[/mm]"
> sicher der Nullvektor sein! Das haben Eigenvektoren so an
> sich.
>
> Und dann darfst du wirklich für jeden Eigenvektor einen
> aussuchen, sprich: für t einen fixen Wert einsetzen. Es sei
> denn, gesucht ist die Menge aller Eigenvektoren. Dann musst
> du natürlich die Parameterform beibehalten, aber [mm]t=0[/mm]
> ausschliessen! (Der Nullvektor ist ja kein Eigenvektor)
>
> Für die praktischen Anwendungen wird man aber meistens
> einen ganz bestimmten aussuchen, weil man diese dann als
> Basisvektoren verwenden will. Mit dieser Basis wird ja die
> Lineare Abbildung besonders einfach mit einer Matrix
> dargestellt!
>
> > Reicht es für das Zeigen das die Eigenwerte reell sind,
> so
> > wie wir das gemacht haben? Sprich ausrechnen und da es
> nur
> > Vielfache einer reellen Zahl sind, sind sie auch
> reell?!?
> >
> Ja, ich denke, das reicht!
>
Ergebnis:
[mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\wurzel{2} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
>
> Da habe ich in der ersten Komponente eine [mm]1[/mm], nicht nur eine
> Halbe. Kannst du das nochmals nachrechnen?
>
> Mit lieben Grüssen
>
Jo. da hast du wohl recht, immer die dummen Schusselfehler. Tja nun scheint ja endlich zu stimmen.
Vielen Vielen Dank.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Mi 23.06.2004 | | Autor: | mausi |
Ok danke Paulus habe ich jetzt verstanden,um jetzt b) zu lösen kann ich da die Éigenwerte benutzen?und nur für [mm]b=\wurzel{2a}[/mm] setzen,obwohl das auch schon wieder schwierig aussieht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Mi 23.06.2004 | | Autor: | mausi |
Danke Paulus hab jetzt begriffen wie man das so rechnet mit den Eigenwerten,nun möchte ich auch noch verstehen wie man die Eigenvektoren ausrechnet,könntest du mir das auch noch erklären???Bitte
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
> Danke Paulus hab jetzt begriffen wie man das so rechnet mit
Das finde ich schön!
Dann hast du ja sicher die folgenden Eigenwerte erhalten (für [mm] $b=\wurzel{2a}$):
[/mm]
[mm] $\lambda [/mm] _{1} = a$
[mm] $\lambda [/mm] _{2} = 3a$
[mm] $\lambda [/mm] _{3} = -a$
> den Eigenwerten,nun möchte ich auch noch verstehen wie man
> die Eigenvektoren ausrechnet,könntest du mir das auch noch
> erklären???Bitte
>
Ja selbstverständlich! Wir sind hier ja schliesslch in keinem geringeren Forum als im MatheRaum!! (Hand aufs Herz: würdest du jemals wieder in ein anderes Forum wechseln?)
Also, vielleicht führst du dir zuerst nochmals meine erste Antwort zu dieser Frage zu Gemüte. Dort habe ich schon vieles in allgemeiner Form erklärt.
Also: mausi = ![[read]](/images/smileys/read.gif "[read]") und Paulus = ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
... und jetzt also zu unserem konkreten Beispiel.
Das, was wir jetzt mal für [mm] $\lambda [/mm] _{1} = a$ machen, muss schlussendlich für alle Eigenwerte einzeln gemacht werden. Wir wissen jetzt ja: es gibt (mindestens) einen Vektor [mm] $\vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}x{1}\\x{2}\\x{3}\end{pmatrix}$ [/mm] mit [mm] $A\vec{x}=a*\vec{x}$ [/mm] ($a$ ist ja ein Eigenwert).
Dies heisst ja etwas umgeformt, wie ich es in meiner 1. Antwort erläutert habe:
[mm] $(A-aE)\vec{x}=\vec{0}$
[/mm]
oder ausgeschrieben, mit [mm] $b=\wurzel{2a}$
[/mm]
[mm] $\Bigg [/mm] ( [mm] \begin{pmatrix}a&\wurzel{2a}&0\\\wurzel{2a}&a&\wurzel{2a}\\0&\wurzel{2a}&a\end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix}a&0&0\\0&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}\Bigg [/mm] ) [mm] \begin{pmatrix}x{1}\\x{2}\\x{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ [/mm]
[mm] $\begin{pmatrix}a-a&\wurzel{2a}&0\\\wurzel{2a}&a-a&\wurzel{2a}\\0&\wurzel{2a}&a-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x{1}\\x{2}\\x{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix}0&\wurzel{2a}&0\\\wurzel{2a}&0&\wurzel{2a}\\0&\wurzel{2a}&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x{1}\\x{2}\\x{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
[/mm]
Das sind also 3 Gleichungen in den Unbekannten [mm] $x_1$, $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$.
[/mm]
Kannst du die mal auflösen und bei Erfolg auch gerade überprüfen, ob der errechnete Vektor tatsächlich durch die Abbildung um den Faktor $a$ gestreckt wird?
Dabei sollst du auch nicht aus der Ruhe geraten, wenn die Lösung nicht eindeutig erscheint. Denn man kann sich ja leicht überlegen, dass jedes Vielfache eines Eigenvektors selbst auch ein Eigenvektor ist. Du darfst dann einfach einen x-Beliebigen auswählen (einfach nicht den Null-Vektor, der ist ja kein Eigenvektor!)
Und zeigst du mir auch das Ergebnis?
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mi 23.06.2004 | | Autor: | mausi |
also als erstes hab ich mich wohl verschrieben,es heisst [mm] b= \wurzel{2}a[/mm]
[mm]
\begin{pmatrix}
0 & \wurzel{2}a & 0 \\
\wurzel{2}a & 0 & \wurzel{2}a\\
0 & \wurzel{2}a & 0
\end{pmatrix}
[/mm][mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
so dann mal los:
[mm] \wurzel{2}ax_2 [/mm] = 0
[mm] \wurzel{2}ax_1 [/mm] + [mm] \wurzel{2}ax_3 [/mm] = 0
[mm] \wurzel{2}ax_2 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] = 0
[mm] x_1=-x_3
[/mm]
kann man dann als Lösung
[mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}schreiben???
[/mm]
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![[bussi]](/images/smileys/bussi.gif "[bussi]"){kind=small}
![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]"){kind=small}
![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
