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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Do 18.05.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Für die folgenden Matrizen A [mm] \in [/mm] M(nxn, [mm] \IR) [/mm] berechne man ihre (reellen) Eigenwerte und jeweils eine Basis für jeden der dazugehörigen Eigenräume. Man untersuche, ob A (reell) diagonalisierbar ist, und bestimme gegebenenfalls eine Matrix T [mm] \in [/mm] GL(n, [mm] \IR), [/mm] so dass [mm] T^{-1}AT [/mm] Diagonalgestalt hat.
(a) [mm] \pmat{ 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4 }
[/mm]
(b) [mm] \pmat{ 4 & -3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 } [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe teilweise ein paar Probleme bei dieser Aufgabe, obwohl es ja nur Rechnerei ist *schäm*!
Na ja, jedenfalls bin ich bisher auf folgendes gekommen:
zu (a)
sei entsprechende Matrix definiert als A=( [mm] a_{ij})
[/mm]
Die Eigenwerte sind: [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] , [mm] \lambda_{2,3}=2
[/mm]
Die Eigenräume sind:
Eig(A;1)={ a [mm] \vektor{1 \\ - \bruch{1}{3} \\ 1} [/mm] | a [mm] \in \IR [/mm] }
also ist { [mm] \vektor{1 \\ - \bruch{1}{3} \\ 1} [/mm] } offensichtlich Basis von Eig(A;1)
sei y [mm] \in \IR^{3} [/mm] mit y = [mm] \vektor{ v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} }
[/mm]
Eig(A;2)=Ker(A- 2 Id)
[mm] \rightarrow \pmat{ 3 & -6 & -6 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & -6 & -6 } \vektor{ v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} } [/mm] = 0
daraus folgt letztlich ein lineares Gleichungssystem bestehend aus 2 Gleichungen und 3 Unbekannten, in welchem ich [mm] y_{1} [/mm] = b [mm] \in \IR [/mm] wähle
schließlich: Eig(A;2)={ [mm] \vektor{b \\ y_{2} \\ y_{2}} [/mm] | b, [mm] y_{2} \in \IR [/mm] }
zu (b)
sei entsprechende Matrix definiert als A=( [mm] a_{ij})
[/mm]
Die Eigenwerte sind: [mm] \lambda_{1} [/mm] = 2 , [mm] \lambda_{2} [/mm] = -5 , [mm] \lambda_{3,4} [/mm] = 2
Die Eigenräume sind:
Eig(A;1)={ c [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] | c [mm] \in \IR [/mm] }
also ist { [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] } offensichtlich Basis von Eig(A;1)
sei x [mm] \in \IR^{3} [/mm] mit x = [mm] \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }
[/mm]
Eig(A;-5)=Ker(A- (-5)Id)
[mm] \rightarrow \pmat{ 9 & -3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 } \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }
[/mm]
= 0
daraus folgt letztlich ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten, in welchem ich [mm] x_{4} [/mm] = p [mm] \in \IR [/mm] gewählt habe
schließlich: Eig(A;-5)={ p [mm] \vektor{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ -3 \\ 1} [/mm] | d [mm] \in \IR [/mm] }
sei z [mm] \in \IR^{3} [/mm] mit z = [mm] \vektor{ z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} }
[/mm]
Eig(A;2)=Ker(A- 2 Id)
[mm] \rightarrow \pmat{ 2 & -3 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -6 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & -1 } \vektor{ z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} }
[/mm]
= 0
daraus folgt letztlich ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 4 Unbekannten, in welchem ich [mm] z_{1} [/mm] = u [mm] \in \IR [/mm] und [mm] z_{3} [/mm] = t gewählt habe
schließlich: Eig(A;2)={ [mm] \vektor{u \\ t+ \bruch{2}{3}u \\ t \\ 2t} [/mm] | t,u [mm] \in \IR [/mm] }
[u] zu (a) und (b) [u]
Meine Fragen beziehen sich in beiden Teilaufgaben auf die Basen der Eigenräume und die in der Aufgabenstellung angesprochene Diagonalisierbarkeit.
Also:
1. Handelt es sich bei Eig(A;2) aus (a) und bei Eig(A;2) aus (b) nicht um unendlich dimensionale Vektorräume?
2. Wie kann ich da eine Basis darstellen?
3. Wenn es sich um unendl. dimensonale VR handelt dürfte es ja kein Problem sein Mengen aus 3 lin. unabh. Eigenvektoren zu bilden, so dass man für die diagonalisierbarkeit nur noch zeigen muss, ob der Spann dieser Menge auch Erzeugendensystem des von den entsprechenden Matrizen dargestellten Raumes ist oder eben nicht!? Aber wie mach ich das?
DANKE für eure Hilfe
Grüße, Patrick
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Hallo Patrick,
ich erläutere dir das Prinzip mal bei Aufgabe a:
der erste Eigenvektor scheint richtig zu sein (zum EW =1). Bei EW = 2 hast du einen Fehler drin, hier ergbit sich (Kern(A - 2*id) wenn das richtig berechnet, habe ich nicht nachgerechnet)
[mm] \pmat{ 3 & -6 & -6 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & -6 & -6 }. [/mm] Das jetzt in Zeilenstufenform bringen und es ergibt sich:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }. [/mm] Du kriegst also als Lösungsvektoren
U = a * pmat{ -2 [mm] \\ [/mm] -1 [mm] \\ [/mm] 0 } + b * pmat{ -2 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] -1}. Die beiden Vektoren sind die Basis des Eigenraums von EW = 2.
Die Matrix ist also diagonalisierbar, warum? Das folgt aus dem Diagonalisierbarkeitskriterium (schaue mal in deine Bücher). Wichtig in diesem Kriterium ist die Forderung das die algebraische und die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes gleich ist. algebraische Vielfachheit meint wie häufig der Eigenwert zu 0 führt im charakteristischen Polynom, bei dir ist z.B. das charkteristische Polynom
(x - [mm] 1)(x-2)^{2}, [/mm] d.h. die algebraische Vielfachheit von EW = 2 ist 2 und von EW = 1 ist 1.
Geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der Lösungen des homogenen Gleichungssystems (oder die Dimension des Kerns) , also bei dir für EW = 1 ist sie 1 und für EW = 2 ist sie 2. Du siehst also das die algebraisch und die geometrische Vielfachheit gleich sind (Für beide Eigenwerte !!!).
Die Matrix T ist jetzt nur die Eigenvektoren als Spalten, also
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -2 \\ -1/3 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1}. [/mm] Wenn du das jetzt invertierst und das oben genannte Produkt bildest, dann müsste rauskommen
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2} [/mm] --> Du hast die Matrix also in eine Diagonalmatrix überführt. Diese Diagonalmatrix ergibt sich dann, wenn du zu deinem Enodmorphismus die Matrixdarstellung mit Hilfe der Basis aus Eigenvektoren bildest (normalerweise nimmt man ja die Standardbasis).
Du siehst also folgendes: Die Eigenvektoren sind im Falle der Diagonalisierbarkeit per Def. schon eine Basis des Vektorraums, dass musst du also nicht mehr beweisen (Frage 3).
Zu 1 und 2: Matrixdarstellungen von linearen Abbildungen sind meines Wissens nur für endlichdimensionale VR definiert, wenn nicht ergibt sich das aber schon daraus, dass ja Matrixdarstllungen von Endomorphismen nichts anderes als die Projektion der Basis in den anderen VR sind, und das ist dann auch einen Basis von dem bzw. zu mindest von dem Bild des EM (folgt aus dem sog. Homomorphiesatz).
So ich hoffe das hilft dir erst mal ein wenig.
P.S. Wozu das Ganze umgeforme. Mit der Matrixdarstellung kannst du ja viele nützliche Dinge berechnen. z.B. kriegst du ja raus, wie das Bild und der kern des Endomorphismus aussieht. Da viele Matrixdarstellungen aber recht kompliziert sind, formst du diese einfach in leichtere Matrizen um, wie z.Bsp. in eine Diagonalmatrix (was leider nicht immer geht, dann formt man sie in die sog. Jordansche Normalform um) und kannst so leichter rechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Fr 19.05.2006 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo nochmal,
danke für die Hilfe. Verstehe auch alles, was angebracht wurde. War wohl bissle zu voreilig mit den Aufgaben, weil wir heute erst in der Vorlesung angebrachte Diagonalisierungskriterien angesprochen haben.
Setz mich dann mal direkt ran.
Bis dann ... ciao
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