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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Fr 09.09.2011 | | Autor: | Mat_ |
| Aufgabe | [mm]
Die Abbildung\, f: Mat(n\times n,\IR) \to Mat(n\times n,\IR) sei\, gegeben\, durch\, A\mapsto A^t
[/mm]
a) Ist f linear?
b) Bestimme f[mm]\circ[/mm]f
c) Bestimmen Sie alle Eigenvektoren und jeweils alle dazugehörigen Eigenwerte von f
d) ist f diagonalisierbar? |
a)
[mm]f(cA+B) = cf(A) + f(B)[/mm] ist ja gegben.
b)
ergibt ja wieder A, also wird nach zweimaligem ausführen von f einfach auf A abgebildet und ist somit eine identiäts Abbildung.
c)
An dieser Teilaufgabe scheitere ich.
Ich habe das ganze mal mit einer 2 mal 2 Matrix durchgespielt. Als Basis habe ich die Standardbasis für Matrizen gewählt. Zusätzlich habe ich die abzubildende Matrix in einen Vektor gepackt. Dies habe ich einfach durch ausprobieren und aufschreiben herausgefunden, der genaue Sinn fehlt mir noch (Isomorphie zum Raum der Spaltenvektoren?)
[mm]
\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1}\vektor{a_{11} \\ a_{12} \\a_{21} \\a_{22}} = \vektor{a_{11} \\ a_{21} \\a_{12} \\a_{22}}
[/mm]
Doch stimmt das so? und wie kann ich das allgemein aufschreiben? geschweige denn von einer belibig grossen Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen?
cheers Mat_
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edit: sorry, war viel zu kompliziert.^^
Jetzt in der einfachen Version:
Also die Eigenwerte für beliebiges n zu berechnen könnte vielleicht ein kleines Problem darstellen, wie du selbst schon gemerkt hast.
Darum würde ich vorschlagen das ganze mit logischen Überlegungen anzugehen:
Sei x ein Eigenwert von f, M ein Eigenvektor (eine Eigenmatrix^^) zum Eigenwert x.
Betrachte nun f(f(M)) - einmal mit dem Wissen, dass M ein Eigenvektor ist, einmal mit dem Wissen aus Teil b).
Bedenkst du nun, dass M als Eigenvektor nicht die Nullmatrix sein darf schränkt das die Möglichkeiten, die man an Eigenwerten hat, doch erheblich ein.^^
MfG
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 11.09.2011 | | Autor: | Mat_ |
Gut danke für deinen Tipp. Ich verstehe zwar deine Idee, aber ich schaffe es trotzdem nicht die Aufgabe zu lösen...
Eigenwertegleichung:
f(M) = x*M diese Gleichung ist ja für alle Matrizen erfüllt, für die
M transponiert gleich M ist, also alle orthogonalen Matrizen. Und
als Eigenwerte kommt halt immer 1. stimmen diese Überlegungen?
cheers
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Wenn M ein Eigenvektor zum Eigenwert x ist, dann gilt:
f(f(M)) = f(x*M) = [mm] x^2*M
[/mm]
Weiterhin hast du aber in b) gezeigt, dass f(f(M)) = M für alle Matrizen gilt.
Es ist also:
M = [mm] x^2*M
[/mm]
Deine Überlegungen für den Eigenwert 1 sind schonmal richtig.
Jetzt solltest du nur noch eine Basis des Eigenraums angeben und am besten noch die Dimension berechnen (das brauchst du bei d) ).
Es gibt aber noch ein anderes x, das obige Gleichung erfüllt.
Guck mal, ob du dazu auch Eigenvektoren findest. ;)
MfG
Schadowmaster
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 11.09.2011 | | Autor: | Mat_ |
Dankeschön!
Aber wie kommt es, dass aus [mm]f(x*M) = x^{2}*M [/mm] wird. Auflösen dieser Gleichung (f(f(M)) = f(x*M)) führt ja eigentilch genau zu meinem Resultat, da f(f(M)) = M und f(xM) wird einfach zu [mm]x*M^t[/mm] ... oder ich habe etwas grundsätzliches noch nicht verstanden ...
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Moin,
> Aber wie kommt es, dass aus [mm]f(x*M) = x^{2}*M[/mm] wird.
> Auflösen dieser Gleichung (f(f(M)) = f(x*M)) führt ja
> eigentilch genau zu meinem Resultat, da f(f(M)) = M und
> f(xM) wird einfach zu [mm]x*M^t[/mm] ... oder ich habe etwas
> grundsätzliches noch nicht verstanden ...
M ist hier keine Matrix, sondern ein (Koordinaten-)Vektor einer [mm] n\times [/mm] n Matrix. In deinem ersten Beitrag hast du intuitiv schon etwas in die Richtung gemacht, in dem du die Matrixelemente in einen Spaltenvektor geschrieben hast. Der Koordinatenvektor ist bezüglich einer Basis des Vektorraums der reellen [mm] n\times [/mm] n Matrizen, zum Beispiel diejenigen [mm] n^2 [/mm] Matrizen, bei denen immer ein Eintrag 1 und alle anderen 0 sind.
Da nun M Eigenvektor zum Eigenwert [mm] x\in\IR [/mm] ist, ist auch der Vektor x*M wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert.
Damit gilt also [mm] f(f(M))=f(x*M)=x*(x*M)=x^2*M. [/mm] Die zweite Identität, mit der auf die möglichen Eigenwerte geschlossen wurde, stammt aus b), denn danach gilt f(f(M))=M.
Daher gilt also [mm] M=x^2*M.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 11.09.2011 | | Autor: | Mat_ |
Gut, dann wären mal die Eigenwerte 1 und -1 berechnet worden.
nun muss ich ja noch eine Basis für diesen Eigenraum angeben und dann die Dimension berechnen, was mir die geometrische Vielfachheit gibt. Stimmt die mit der algebraischen Vielfachheit (hier 2) überein, ist f diagonalisierbar.
Für den Eigenvektor muss nun gelten: (f-x*Id)(M) = 0 , wobei Id die identitäs Abbildung ist.
f(M) - c*f(f(M)) = 0 <=> [mm]M^{t} - M = 0 [/mm]ist ja nur für die symmetrischen Matrizen erfüllt, dessen Basis die Dimension n(n+1)/2 hat. Und ja somit ist f nicht diagonalisierbar.
stimmt das soweit?
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Doch, f ist diagonalisierbar.
Nimm dir einfach mal als Beispiel $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen und gib die Eigenräume an.
Wenn du da die beiden Basen hast kannst du das sicher verallgemeinern. ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 So 11.09.2011 | | Autor: | Mat_ |
Mein Problem ist, dass ich das stets gemacht habe, wenn ich eine konkrete Abbildungmatrix zur Verfügung hatte... :) da kann man schön EV ausrechnen und Eigenräume angeben ...
Doch nun in diesem Fall stehe ich total auf dem Schlauch, sorry das ich für jeden Schritt fragen muss ....
cheers
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ok, dann mach ich dir das Beispiel mal:
Wie bereits festgestellt sind 1 und -1 die beiden Eigenwerte.
Eine Matrix wird beim Transponieren genau dann auf sich selbst abgebildet (also Eigenwert 1), wenn sie diese Form hat:
[mm] $\pmat{a & b \\ b & c}$
[/mm]
Somit wäre eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert 1:
[mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 0}, \pmat{0 & 0 \\ 0 & 1}, \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}$
[/mm]
Somit, wie man leicht sieht, ein 3-dimensionaler Vektorraum.
Eine Matrix wird beim Transponieren auf ihr negatives abgebildet (Eigenwert -1), genau dann wenn sie diese Form hat:
[mm] $\pmat{0 & a \\ -a & 0}$
[/mm]
Also ist eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert -1:
[mm] $\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}$
[/mm]
offensichtlich 1-dimensional.
Somit ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich 4, was ja gerade die Dimension des [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] ist.
Also ist f (für den Fall n=2) diagonalisierbar.
Versuch das jetzt mal auf den allgemeinen Fall zu übertragen.
MfG
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 So 11.09.2011 | | Autor: | Mat_ |
vielen vielen dank für die Mühe die du dir gegeben hast! Ich sollte es nun hinbekommen.
cheers
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