www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisEigenwerte Hessematrix
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Analysis" - Eigenwerte Hessematrix
Eigenwerte Hessematrix < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwerte Hessematrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 So 22.05.2005
Autor: Steffi2004

Hallo allerseits!

Ich sitze gerade an einer Aufgabe bei der ich für [mm] n\ge [/mm] 2 zeigen soll, dass die Hessematrix von [mm] f(x)=\parallel x\parallel [/mm] für [mm] x\in R^n \backslash\{0\} [/mm] die Eigenwerte 0 und [mm] 1/\parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] hat.
Als Erinnerung steht noch dabei, dass die Hessmatrix von [mm] \parallel x\parallel [/mm] durch f''(x)ij = [mm] 1/\parallel [/mm] x [mm] \parallel *(\delta [/mm] ij - [mm] (xi+xj)/(\parallel x\parallel [/mm] ^2)) gegeben ist (Die i und j sind Indices, wusste aber nicht wie ich das richtig formatieren kann, sorry). Als Schema soll ich die Hessematrix zunächst auf einen beliebigen Vektor y anwenden, dann für besonders einfach Fälle das Ergebnis bestimmen und damit dann geeignete Eigenvektoren finden.
Meine erste Frage, stimmt es, dass [mm] \deltaij [/mm] immer 1 ist wenn i=j und sonst 0?Außerdem scheitere ich leider schon damit, die Hessematrix auf den beliebigen Vektor y anzuwenden, ich weiß irgendwie nicht was ich da tun soll. Leider muss ich die Lösung der Aufgabe schon am Dienstag abgeen, deshalb das Fälligkeitsdatum.
Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte...
Danke schonmal!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Eigenwerte Hessematrix: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Di 24.05.2005
Autor: MathePower

Hallo Steffi,

> Ich sitze gerade an einer Aufgabe bei der ich für [mm]n\ge[/mm] 2
> zeigen soll, dass die Hessematrix von [mm]f(x)=\parallel x\parallel[/mm]
> für [mm]x\in R^n \backslash\{0\}[/mm] die Eigenwerte 0 und
> [mm]1/\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] hat.
>  Als Erinnerung steht noch dabei, dass die Hessmatrix von
> [mm]\parallel x\parallel[/mm] durch f''(x)ij = [mm]1/\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel *(\delta[/mm] ij - [mm](xi+xj)/(\parallel x\parallel[/mm] ^2))
> gegeben ist (Die i und j sind Indices, wusste aber nicht
> wie ich das richtig formatieren kann, sorry). Als Schema

So vielleicht:

[mm]\frac{{\partial ^2 f(x)}} {{\partial x_i \partial x_j }}\; = \;\frac{1} {{\left\| x \right\|}}\;\left( {\delta _{ij} - \;\frac{{x_i \;x_j }} {{\left\| x \right\|^2 }}} \right)[/mm]

> soll ich die Hessematrix zunächst auf einen beliebigen
> Vektor y anwenden, dann für besonders einfach Fälle das
> Ergebnis bestimmen und damit dann geeignete Eigenvektoren
> finden.

>  Meine erste Frage, stimmt es, dass [mm]\deltaij[/mm] immer 1 ist
> wenn i=j und sonst 0?Außerdem scheitere ich leider schon

Ja, das stimmt.

[mm]\delta _{ij} \; = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}c} 0 & {falls\;i\; \ne \;j} \\ 1 & {falls\;i\; = \;j} \\ \end{array} } \right[/mm]

> damit, die Hessematrix auf den beliebigen Vektor y
> anzuwenden, ich weiß irgendwie nicht was ich da tun soll.

Ersetze einfach das x durch ein y bzw. die [mm]x_{i}[/mm] durch [mm]y_{i}[/mm].

Ein einfacher Fall ergibt sich für n=2:

[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{x_{2}^{2} }} {{\left\| x \right\|^{3} }}} & {\frac{{ - x_{1} \;x_{2} }} {{\left\| x \right\|^{3} }}} \\ {\frac{{ - x_{1} \;x_{2} }} {{\left\| x \right\|^{3} }}} & {\frac{{x_{1}^{2} }} {{\left\| x \right\|^{3} }}} \\ \end{array} } \right)[/mm]

Hier kannst Du die Eigenwerte relativ einfach bestimmen.

Gruß
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]