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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Mi 25.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, an alle!
Ich habe folgende Aufgabe bearbeitet, habe allerdings (hoffe ich  ) nur die Teilaufgabe (a) lösen können, bei der (b) weiß ich nicht, wie ich es machen soll. Ich komme da auf keinen gescheiten Ansatz.
Aufgabe:
Sei A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] diagonalisierbar. Zeige:
(a) Hat A nur einen Eigenwert [mm] \lambda \in \IR, [/mm] so ist A = [mm] \lambda E_{n}.
[/mm]
(b) Sind alle Eigenwerte von A nicht negativ, so gibt es eine Matrix B mit [mm] B^{2} [/mm] = A.
Beweis zu (a):
Da A diagonalisierbar ist, gibt es eine invertierbare Matrix S [mm] \in \IR^{n,n}, [/mm] so dass [mm] SAS^{-1} [/mm] = D gilt, wobei D eine Diagonalmatrix ist, dessen Diagonaleinträge die Eigenwerte von A sind.
Da A nur einen einzigen Eigenwert hat, lautet das charakt. Polynom von A wie folgt:
[mm] p_{A} [/mm] (t) = [mm] det(A-tE_{n}) [/mm] = [mm] (t-\lambda)^{n}.
[/mm]
Das heißt, dass D folgende gestalt haben muss: D = [mm] \lambda E_{n}.
[/mm]
Also gilt:
[mm] SAS^{-1} [/mm] = D
[mm] SAS^{-1} [/mm] = [mm] \lambda E_{n}
[/mm]
[mm] AS^{-1} [/mm] = [mm] S^{-1} \lambda E_{n}
[/mm]
A = [mm] S^{-1} \lambda E_{n} [/mm] S (Vorziehen der Konstante [mm] \lambda)
[/mm]
A = [mm] \lambda S^{-1} E_{n} [/mm] S
A = [mm] \lambda S^{-1} [/mm] S
A = [mm] \lambda E_{n}.
[/mm]
Fertig. Ist das richtig so?
Bei der (b) tut es mir wirklich leid, aber ich weiß echt nicht, wie ich die aufgabe anpacken soll.
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen und mir einen Tipp geben? Vielen Dank!
Schönen Feiertag noch morgen!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Do 26.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
erstmal gilt doch für [mm] $Bv=\mu [/mm] v$, dass damit [mm] $B^2v=\mu^2 [/mm] v$. Da [mm] $Av=\lambda [/mm] v$ und [mm] $\lambda>0$ [/mm] existiert [mm] $\mu^2=\lambda$. [/mm] Du musst jetzt nur noch zeigen, dass es damit auch zwingen eine Matrix $B$ mit [mm] $B^2=A$ [/mm] gibt. Evtl. kann man dies ja mit einem Widerspruchsbeweis zeigen.
Gruß Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Do 26.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo VHN!
Die erste Aufgabe ist richtig gelöst. ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Jetzt zur zweiten Aufgabe:
Da $A$ diagonalisierbar ist, gibt es eine invertierbare Matrix $S$ mit
[mm] $SAS^{-1}=D$,
[/mm]
wobei $D$ eine Diagonalmatrix ist. Da $A$ nur nicht-negative Eigenwerte besitzt, sind die Elemente von $D$ alle nicht-negativ. Sei [mm] $\sqrt{D}$ [/mm] die Diagonalmatrix, in deren Einträge die Wurzeln der Einträge von $D$ stehen.
Dann gilt:
[mm] $(\sqrt{D})^2=D$,
[/mm]
und
$A = [mm] S^{-1}DS [/mm] = [mm] S^{-1}(\sqrt{D})^2S [/mm] = [mm] (S^{-1}\sqrt{D}S)^2$.
[/mm]
Setze jetzt: $B:= [mm] S^{-1}\sqrt{D}S$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 So 29.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, stefan!
Danke für deine Antwort. allerdings hab ich da noch eines nicht so ganz verstanden. ich hoffe, du kannst mich da nochmal aufklären.
Wieso gilt [mm] S^{-1} (\wurzel{D})^{2} [/mm] S = [mm] (S^{-1} \wurzel{D} S)^{2}?
[/mm]
heißt das, dass das Quadrat einer invertierbaren Matrix immer die Matrix selber ist, oder wieso gilt hier die gleichheit?
Danke für deine Hilfe!
VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 So 29.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo VHN!
> Wieso gilt [mm]S^{-1} (\wurzel{D})^{2}[/mm] S = [mm](S^{-1} \wurzel{D} S)^{2}?[/mm]
Es gilt:
[mm] $(S^{-1}\wurzel{D}S)^2=(S^{-1}\wurzel{D}S)(S^{-1}\wurzel{D}S) [/mm] = [mm] S^{-1}\wurzel{D}(\underbrace{SS^{-1}}_{=I})\wurzel{D}S [/mm] = [mm] S^{-1} \wurzel{D}^2 [/mm] S$.
Viele Grüße
Stefan
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