Eigenwerte Matrix A < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Schmidtl |
Ich habe eine Matrix A = [mm] \pmat{ 0,8 & 0,3 \\ 0,2 & 0,7 }
[/mm]
Die Eigenwerte sind [mm] \lambda [/mm] = 1 und [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2}.
[/mm]
Die Eigenvektoren sind [mm] \vektor{0,6 \\ 0,4} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ -1}
[/mm]
Daraus möchte ich gerne [mm] A^{2} [/mm] und [mm] A^{100} [/mm] berechnen. Ich habe dazu ein Buch wo dieses beschrieben ist aber ich komme nicht selber drauf. Irgendwie sagt man anstatt [mm] A^{100} \lambda^{100} [/mm] und multipliziert dies dann irgendwie. Kann mir das bitte jmd. an einem Beispiel zeigen/vorrechnen?
Danke.
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> Ich habe eine Matrix A = [mm]\pmat{ 0,8 & 0,3 \\ 0,2 & 0,7 }[/mm]
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> Die Eigenwerte sind [mm]\lambda[/mm] = 1 und [mm]\lambda[/mm] =
> [mm]\bruch{-1}{2}.[/mm]
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> Die Eigenvektoren sind [mm]\vektor{0,6 \\ 0,4}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
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> Daraus möchte ich gerne [mm]A^{2}[/mm] und [mm]A^{100}[/mm] berechnen. Ich
> habe dazu ein Buch wo dieses beschrieben ist aber ich komme
> nicht selber drauf.
Da diese [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix $A$ zwei linear-unabhängige Eigenvektoren zu den Eigenwerten [mm] $\lambda_1, \lambda_2$ [/mm] hat, kannst Du sie auf Diagonalform [mm] $D(\lambda_1,\lambda_2)$ [/mm] transformieren. Sei $T$ die zugehörige Basistransformationsmatrix. Dann gilt, für beliebiges [mm] $n\in \IN$,
[/mm]
[mm]D^n = (T^{-1} A T)^n=T^{-1} A T\cdots T^{-1} A T = T^{-1} A^n T[/mm]
Also muss gelten:
[mm]A^n = T D^n T^{-1}=T \pmat{\lambda_1^n & 0\\ 0 & \lambda_2^n} T^{-1}[/mm]
> Irgendwie sagt man anstatt [mm]A^{100} \lambda^{100}[/mm]
> und multipliziert dies dann irgendwie. Kann mir das bitte
> jmd. an einem Beispiel zeigen/vorrechnen?
>
> Danke.
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