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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Do 30.10.2014 | | Autor: | moerni |
Hallo,
Gegeben sei eine Matrix Q, die positiv definit oder negativ definit oder indefinit sein kann. Außerdem sei eine Matrix A gegeben.
Es sei gegeben, dass die Matrix Q positiv definit auf dem kern(A) ist.
Meine Frage ist nun: kann man eine Beziehung finden zwischen den Eigenwerten von Q und den Eigenwerten der Projektion von Q auf kern(A) ?
Um es vielleicht etwas zu veranschaulichen ein Beispiel:
Q = [mm] \pmat{ 6 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 4}
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1}
[/mm]
In diesem Fall ist Q positiv definit (Eigenwerte [mm] \lambda_1 \approx [/mm] 2.36, [mm] \lambda_2 \approx [/mm] 4.14, [mm] \lambda_3 \approx [/mm] 8.50)
Eine Basis des Kerns von A ist [mm] Z=(-1,-1,1)^T
[/mm]
Die Projektion P von Q auf den kern(A) ist P = [mm] Z^T [/mm] Q Z = 13, offensichtlich positiv definit mit Eigenwert [mm] \alpha=13
[/mm]
Kann man etwas über die Beziehung von [mm] \lambda_i [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] sagen (und zwar im Allgemeinen!)?, z.B. die Eigenwerte von P sind größer oder gleich der Eigenwerte von Q....?
Über eine Hilfe oder eine Lösungsidee wäre ich sehr dankbar!
LG moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Do 30.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Gegeben sei eine Matrix Q, die positiv definit oder negativ
> definit oder indefinit sein kann. Außerdem sei eine Matrix
> A gegeben.
> Es sei gegeben, dass die Matrix Q positiv definit auf dem
> kern(A) ist.
>
> Meine Frage ist nun: kann man eine Beziehung finden
> zwischen den Eigenwerten von Q und den Eigenwerten der
> Projektion von Q auf kern(A) ?
Wie ist denn " Projektion von Q auf kern(A)" definiert ???
Klär mich auf
FRED
>
> Um es vielleicht etwas zu veranschaulichen ein Beispiel:
> Q = [mm]\pmat{ 6 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 4}[/mm]
> A =
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1}[/mm]
>
> In diesem Fall ist Q positiv definit (Eigenwerte [mm]\lambda_1 \approx[/mm]
> 2.36, [mm]\lambda_2 \approx[/mm] 4.14, [mm]\lambda_3 \approx[/mm] 8.50)
> Eine Basis des Kerns von A ist [mm]Z=(-1,-1,1)^T[/mm]
> Die Projektion P von Q auf den kern(A) ist P = [mm]Z^T[/mm] Q Z =
> 13, offensichtlich positiv definit mit Eigenwert [mm]\alpha=13[/mm]
>
> Kann man etwas über die Beziehung von [mm]\lambda_i[/mm] mit [mm]\alpha[/mm]
> sagen (und zwar im Allgemeinen!)?, z.B. die Eigenwerte von
> P sind größer oder gleich der Eigenwerte von Q....?
>
> Über eine Hilfe oder eine Lösungsidee wäre ich sehr
> dankbar!
> LG moerni
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:16 Do 30.10.2014 | | Autor: | moerni |
Hallo Fred97!
Vielen Dank schon mal für dein Interesse an meinem Problem.
Zu deiner Rückfrage: Wie ist denn "Projektion von Q auf kern(A)" definiert?
Ok, dafür muss ich mich entschuldigen, das ist keine korrekte mathematische Formulierung. Ich meine damit folgendes:
Angenommen, Q hat die Dimension n x n.
Sei v [mm] \in \mathbb{R}^n. [/mm] Dann kann sein: [mm] v^T [/mm] Q v > 0 oder [mm] v^T [/mm] Q v < 0 oder [mm] v^T [/mm] Q v = 0, denn wir wissen nichts über die Definitheit von Q. Wenn wir allerdings einen Vektor y [mm] \in [/mm] kern(A) wählen, dann gilt [mm] y^T [/mm] Q y > 0 nach Voraussetzung. Das heißt Q ist positiv definit auf dem Unterraum kern(A). Der Vektor y lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren [mm] z_i [/mm] von kern(A) schreiben. Diese Basisvektoren [mm] z_i [/mm] schreibe ich nun in die Spalten der Matrix Z. Dann ist P := [mm] Z^T [/mm] Q Z > 0.
Jetzt ist meine Frage: gibt es einen Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von Q und den Eigenwerten von P?
Über eine Hilfe oder Idee dazu wäre ich sehr dankbar!
LG moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 03.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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