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| Aufgabe | | Wir betrachten eine affine Abbildung des [mm] \IR^2. [/mm] Bei dieser soll es sich um eine Streckspiegelung um den Faktor 2 orthogonal zur Geraden y=2x handeln. Bestimmen Sie die zugehörigen Eigenwerte und Eigenvektoren. |
Huhu...
komme bei folgender Aufgabe einfach zu keinem Anfang :(
wäre toll wenn ihr mir helfen könntet...
Wir betrachten eine affine Abbildung des [mm] \IR^2. [/mm] Bei dieser soll es sich um eine Streckspiegelung um den Faktor 2 orthogonal zur Geraden y=2x handeln. Bestimmen Sie die zugehörigen Eigenwerte und Eigenvektoren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Walde |
hi Mathehasser,
also wenn man überhaupt keine Idee hat, stellt man einfach mal die Abbildungsmatrix auf. Wie man das macht? (Eine Zeichnung hilft evtl.)
1.Überlege dir die Geradengleichung von der Spiegelachse g:y=2x in Vektorform.
2. Nimm dir einen beliebigen Punkt P (x|y) und berechne, wo er durch die Spiegelung landen muß. Denk zunächst an eine normale Achsenspiegelung, (d.h. du "gehst" von P aus, senkrecht auf g zu), aber beachte den Streckfaktor 2, wie weit muß man also von P aus "gehen", bis man beim Bildpunkt P' landet? Bereche die Koordinaten von P' (alles in Abhängigkeit der Koordinaten von P natürlich.)
Wenn du die Abb.matrix hast, berechne die EWe und EVen.
Man kann aber auch durch überlegen auf die EV und zugehörigen EW kommen. Was bedeutet $ [mm] Ax=\lambda [/mm] x $ anschaulich und was heißt das bei dieser Spielgelung? Ein EV einer Abb. bleibt ja durch diese in seiner Lage unverändert. Seine Länge und Richtung können sich ändern (das macht der EW). Auf welche Arten von Vektoren trifft dies bei einer Achsenspiegelung zu? Und um welchen Faktor ändert sich die Länge (auch Richtung beachten) des entsprechenden Vektors gegebenfalls?
LG walde
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