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| Aufgabe 1 | Sei $T$ eine Transformation von [mm] $V=P_3(\IR)$, [/mm] dem Vektorraum der Polynome maximal dritten Grades, gegeben durch:
[mm] $T(a+bx+cx^2+dx^3)=-d+(-c+d)x+(a+b-2c)x^2+(-b+c-2d)x^3$.
[/mm]
Sei $B$ eine Basis von $V$ mit $B = [mm] \{\underbrace{1-x+x^3}_{b_1},\underbrace{1+x^2}_{b_2},\underbrace{1}_{b_3},\underbrace{x+x^2}_{b_4}\}$. [/mm] Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von $T$. |
| Aufgabe 2 | | Sei $V = [mm] P_2(\IR)$ [/mm] und die Transformation $T$ von $V$ gegeben durch $T(f(x))=x*f'(x)+f(2)*x+f(3)$, für $f [mm] \in [/mm] V$. Bestimme die Eigenwerte von $T$ und eine Basis von $V$, die aus den Eigenvektoren von $T$ besteht. |
Hallo :)
Mir geht es im Wesentlichen darum, dass mal jemand kontrolliert, ob es richtig ist, was ich hier mache. Ich fange mal mit Aufgabe eins an.
Um die Matrix [mm] $[T]_B$ [/mm] zu erhalten, wende ich $T$ auf die Basisvektoren an und schreibe die Ergebnisse als Linearkombination dieser Basisvektoren.
[mm] $T(1-x+x^3)=-1+x-x^3=-1b_1+0b_2+0b_3+0b_4$
[/mm]
[mm] $T(1+x^2)=-x-x^2+x^3=1b_1-1b_2+0b_3+0b_4$
[/mm]
[mm] $T(1)=x^2=0b_1+1b_2-1b_3+0b_4$
[/mm]
[mm] $T(x+x^2)=-x-x^2=0b_1+0b_2+0b_3-1b_4$
[/mm]
Man erhält also:
[mm] $[T]_B [/mm] = [mm] \pmat{-1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1}$
[/mm]
Um die Eigenwerte zu bestimmen, berechne ich das charakteristische Polynom, indem ich die Gleichung
[mm] $\vmat{-1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1-\lambda}=0$
[/mm]
löse. Man erhält
[mm] $(-1-\lambda)^4=0$
[/mm]
und damit die Eigenwerte
[mm] $\lambda_{1/2/3/4} [/mm] = -1$.
Um zu diesen Eigenwerten die Eigenvektoren zu finden, löse ich die Gleichung
[mm] $\pmat{-1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1}*\vektor{w\\x\\y\\z}=-1\vektor{w\\x\\y\\z}$,
[/mm]
woraus man erhält
$w = 0$,
$x = 0$,
$y = y$,
$z = z$.
Indem ich erst $y=1$ und $z=0$ und danach $y=0$ und $z=1$ wähle, erhalte ich die zwei Eigenvektoren
[mm] $\vektor{0\\0\\1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0\\0\\0\\1}$.
[/mm]
Die anderen zwei Eigenvektoren sind
[mm] $$\vektor{0\\0\\0\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0\\0\\0\\0}$.
[/mm]
Geht das so?
Zur zweiten Aufgabe:
Die Transformation lässt sich schreiben als
[mm] $T(a+bx+cx^2+dx^3)=(a+3b+9c)+(a+3b+4c)x+2cx^2$.
[/mm]
Ich wähle die Standardbasis [mm] $B=\{\underbrace{1}_{b_1},\underbrace{x}_{b_2},\underbrace{x^2}_{b_3}\}$ [/mm] als Basis für $V$ und wende die Transformation auf diese Basiselemente an, um [mm] $[T]_B$ [/mm] zu erhalten:
$T(1) = [mm] 1+x=1b_1+1b_2+0b_3$
[/mm]
$T(x) = 3+3x = [mm] 3b_1+3b_2+0b_3$
[/mm]
[mm] $T(x^2)=9+4x+2x^2=9b_1+4b_2+2b_3$
[/mm]
Hieraus ergibt sich die Matrix
[mm] $[T]_B [/mm] = [mm] \pmat{1&3&9\\1&3&4\\0&0&2}$.
[/mm]
Die Eigenwerte ergeben sich aus dem Lösen der Gleichung
[mm] $\vmat{1-\lambda&3&9\\1&3-\lambda&4\\0&0&2-\lambda}=-\lambda^3+6\lambda^2-8\lambda=0$.
[/mm]
Man erhält so die Eigenwerte [mm] $\lambda_1=0$, $\lambda_2=2$ [/mm] und [mm] $\lambda_3=4$.
[/mm]
Um die Eigenvektoren zu erhalten, löse ich wiederrum
[mm] $\pmat{1&3&9\\1&3&4\\0&0&2}*\vektor{x\\y\\z}=\lambda*\vektor{x\\y\\z}$.
[/mm]
Damit kriege ich die Eigenvektoren
[mm] $\lambda [/mm] = 0: [mm] \vektor{-3\\1\\0}$
[/mm]
[mm] $\lambda [/mm] = 2: [mm] \vektor{3\\13\\-4}$
[/mm]
[mm] $\lambda [/mm] = 4: [mm] \vektor{1\\1\\0}$
[/mm]
Die Basis von $V$ ist also [mm] $\{\vektor{-3\\1\\0}, \vektor{3\\13\\-4}, \vektor{1\\1\\0}\}$.
[/mm]
Ich hab ein paar Schritte übersprungen, sollte ich also noch etwas ausführlicher werden, bitte einfach bescheid sagen.
Danke für's Drübergucken.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mi 04.02.2015 | | Autor: | huddel |
Ich hab jetzt nicht alles genau nachgerechnet (vor allem die Transformationen nicht) aber das sieht so schlüssig aus. Deine Schritte sind auf jeden Fall die richtigen.
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> Ich hab jetzt nicht alles genau nachgerechnet (vor allem
> die Transformationen nicht) aber das sieht so schlüssig
> aus. Deine Schritte sind auf jeden Fall die richtigen.
Hey, super, danke :)
Könntest du (oder jemand Anders) vielleicht noch mal schauen, ob die erste Matrix (d.h. [mm] $[T]_B$ [/mm] der ersten Aufgabe, die allererste Matrix in meinem Beitrag) und die vier Eigenvektoren (auch aus der ersten Aufgabe) stimmen? Vor allem die Eigenvektoren kamen mir so "random" vor, wenn du verstehst, was ich meine.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mi 04.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Ich hab jetzt nicht alles genau nachgerechnet (vor allem
> > die Transformationen nicht) aber das sieht so schlüssig
> > aus. Deine Schritte sind auf jeden Fall die richtigen.
>
> Hey, super, danke :)
>
> Könntest du (oder jemand Anders) vielleicht noch mal
> schauen, ob die erste Matrix (d.h. [mm][T]_B[/mm] der ersten
> Aufgabe, die allererste Matrix in meinem Beitrag) und die
> vier Eigenvektoren (auch aus der ersten Aufgabe) stimmen?
Du schreibst:
"Die anderen zwei Eigenvektoren sind
$ [mm] $$\vektor{0\\0\\0\\0}$ [/mm] $ und $ [mm] $\vektor{0\\0\\0\\0}$. [/mm] $"
Das ist natürlich Unfug. Eigenvektoren sind stets [mm] \ne [/mm] Nullvektor.
Ob die anderen beiden richtig sind, kannst Du doch mit einer Probe selbst feststellen.
FRED
> Vor allem die Eigenvektoren kamen mir so "random" vor, wenn
> du verstehst, was ich meine.
>
> Liebe Grüße.
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