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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte bestimmen
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Eigenwerte bestimmen: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:12 Do 02.02.2012
Autor: heinze

Aufgabe
Es sei V der [mm] \IR [/mm] vektorraum der von cos(t) und sin(t) erzeugten Funktion.
In diesem Fall stellt die Ableitung D : [mm] V\to [/mm] V; [mm] f\to [/mm] f', einen Endomorphismus von V dar. Bestimmen Sie das charakteristische Polynom [mm] X_D(X) [/mm] von D. Untersuchen Sie, ob D Eigenwerte besitzt und geben sie diese gegebenenfalls an.

Ok, ich weiß wie man charakteristische Polynome und Eigenwerte bestimmt. Allerdings kenne ich das bisher nur von Matrizen.

Könnt ihr mir erklären wie ich das hier mache?


LG heinze

        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:01 Do 02.02.2012
Autor: fred97

Setze [mm] b_1(t)=cos(t), b_2(t)=sin(t). [/mm] Dann ist [mm] (b_1,b_2) [/mm] eine Basis von V.

Sei A die Abbildungsmatrix von D bezügl. obiger Basis.

Das char. Polynom von D ist das char. Polynom von A

FRED

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Do 02.02.2012
Autor: triad


> Setze [mm]b_1(t)=cos(t), b_2(t)=sin(t).[/mm] Dann ist [mm](b_1,b_2)[/mm] eine
> Basis von V.

$ B = ( cos(t), sin(t) ) $ ist also eine Basis von V. Aber warum sind die Basisvektoren lu? Man kann den Sinus doch durch eine Verschiebung um eine Viertelperiode zum Cosinus machen und umgekehrt?

> Sei A die Abbildungsmatrix von D bezügl. obiger Basis.

Also ist A = [mm] M_B^B(D) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }. [/mm]

> Das char. Polynom von D ist das char. Polynom von A
>  
> FRED

Das char. Polynom von D bzw. A müsste dann so aussehen: [mm] \chi_D(X) [/mm] = [mm] det(A-X*E_2) [/mm] = [mm] det\pmat{ -x & 1 \\ -1 & -x } [/mm] = [mm] x^2+1. [/mm]
Und von [mm] x^2+1 [/mm] existieren keine Nullstellen in [mm] \IR, [/mm] weil das irgendwie komplexe Zahlen sind $ (-i,+i) $ (hatten wir in der Vorlesung).


Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Do 02.02.2012
Autor: schachuzipus

Hallo triad,


> > Setze [mm]b_1(t)=cos(t), b_2(t)=sin(t).[/mm] Dann ist [mm](b_1,b_2)[/mm] eine
> > Basis von V.
>  
> [mm]B = ( cos(t), sin(t) )[/mm] ist also eine Basis von V. Aber
> warum sind die Basisvektoren lu?

Setze doch mal die LK des Nullvektors (hier der Nullfunktion) an:

[mm] $\lambda\cdot{}\cos(t)+\mu\cdot{}\sin(t)=0$ [/mm] muss für l.U. für jedes [mm] $t\in\IR$ [/mm] (nur) die (triviale) Lösung [mm] $\lambda=\mu=0$ [/mm] haben ...

> Man kann den Sinus doch
> durch eine Verschiebung um eine Viertelperiode zum Cosinus
> machen und umgekehrt?


>  
> > Sei A die Abbildungsmatrix von D bezügl. obiger Basis.
>  
> Also ist A = [mm]M_B^B(D)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }.[/mm] [ok]

>  
> > Das char. Polynom von D ist das char. Polynom von A
>  >  
> > FRED
>
> Das char. Polynom von D bzw. A müsste dann so aussehen:
> [mm]\chi_D(X)[/mm] = [mm]det(A-X*E_2)[/mm] = [mm]det\pmat{ -x & 1 \\ -1 & -x }[/mm] =
> [mm]x^2+1.[/mm] [ok]

>  Und von [mm]x^2+1[/mm] existieren keine Nullstellen in [mm]\IR,[/mm] [ok] weil
> das irgendwie komplexe Zahlen sind [mm](-i,+i)[/mm] (hatten wir in
> der Vorlesung).

Ja, irgendwie schon ;-)

Über [mm] $\IR$ [/mm] hat das char. Polynom also keine Nullstelle(n)

Was heißt das im Hinblick auf die Frage in der Aufgabenstellung?


Gruß

schachuzipus

>  


Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Do 02.02.2012
Autor: triad

hallo,

> Setze doch mal die LK des Nullvektors (hier der
> Nullfunktion) an:
>  
> [mm]\lambda\cdot{}\cos(t)+\mu\cdot{}\sin(t)=0[/mm] muss für l.U.
> für jedes [mm]t\in\IR[/mm] (nur) die (triviale) Lösung
> [mm]\lambda=\mu=0[/mm] haben ...
>  

Achja! Da hab ich wohl wieder zu kompliziert gedacht, denn allein mit der Darstellung [mm]\lambda\cdot\cos(t)[/mm] bzw. [mm]\lambda\cdot\sin(t)[/mm], [mm] \lambda\in\IR [/mm]  kann man natürlich nicht auf [mm]\sin(t)[/mm] bzw. [mm]\cos(t)[/mm] kommen.


> Über [mm]\IR[/mm] hat das char. Polynom also keine Nullstelle(n)
>  
> Was heißt das im Hinblick auf die Frage in der
> Aufgabenstellung?
>  

Stimmt, das hatte ich vergessen:

>  Und von $ [mm] x^2+1 [/mm] $ existieren keine Nullstellen in $ [mm] \IR, [/mm] $

also besitzt der Endomorphismus D keine Eigenwerte.



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