Eigenwerte einer Funktion < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mi 03.09.2008 | | Autor: | cares87 |
| Aufgabe | | F:V [mm] \to [/mm] V selbstadjungiert [mm] \rightarrow [/mm] Spektrum (F) [mm] \in \IR [/mm] |
Das ist ja eigentlich ein schöner Satz, hab aber grad keine Ahnung, wie ich denn die Eigenwerte einer Funktion berechnnen kann. Bei einer Matrix ist es klar.
Ich kann eine Abbildung doch auch in eine Matrix umschreiben, aber auch da tu ich mir noch schwer, kann mir das vll auch einer von euch mal verständlich erklären?
Danke,
Caro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Sa 06.12.2014 | | Autor: | just |
Hey,
ich hänge an dem gleichen Problem. Ich soll den maximalen Eigenwert der Funktion [mm] F(x)=\bruch{1}{2}tan(x) [/mm] bestimmen.
Leider konnte ich deiner Anleitung nicht folgen und hab auch keine vergleichbaren Themen über die Suche finden können.
Kann mir das nochmal jemand für Doofe erklären oder die Funktionsweise an einer einfachen Beispielfuntion erklären?
Danke und einen schönen Abend
just
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 So 07.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo just
das ist doch keine lineare Fkt? kannst du die Aufgabe zitieren um die es geht?
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 So 07.12.2014 | | Autor: | just |
Hey leduart,
genau, ich bin in meiner Numerik-Vorlesung im Kapitel "Nicht-Lineare Funktionen" angekommen.
Also meine Aufgabe lautet im Ganzen:
Gesucht ist eine Näherungslösung der nichtlinearen Gleichung 2x − tan x = 0 im Intervall I = [1, 1.5].
Überprüfe, welche der beiden Funktionen
phi1(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] tan(x)
phi2(x) = arctan(2x)
die Vorraussetzungen des Banach'schen Fixpunktsatzes erfüllt.
In meinem Skript steht nun, dass der Banach'sche Fixpunktsatz genau dann konvergiert, wenn der Spektralradius der Iterationsmatrix < 1 ist.
Nun weiß ich aber nicht, wie man die Iterationsmatrix berechnen kann. Wie man daraus hinterher die Eigenwerte bestimmt, weiß ich ja.
Denke ich da soweit richtig oder bin ich schon auf dem Holzweg?
lg
just
edit: Ah, jetzt verstehe ich - Ich bin hier im Forum für lineare Algebra und somit falsch..
Dann stelle ich meine Frage wohl nochmal an passenderer Stelle und betrachte das hier als erledigt!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 So 07.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> F:V [mm]\to[/mm] V selbstadjungiert [mm]\rightarrow[/mm] Spektrum (F) [mm]\in \IR[/mm]
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> Das ist ja eigentlich ein schöner Satz, hab aber grad
> keine Ahnung, wie ich denn die Eigenwerte einer Funktion
> berechnnen kann. Bei einer Matrix ist es klar.
> Ich kann eine Abbildung doch auch in eine Matrix
> umschreiben,
Ist denn V endlichdimensional ?
> aber auch da tu ich mir noch schwer, kann mir
> das vll auch einer von euch mal verständlich erklären?
> Danke,
> Caro
Ich nehme an, dass V ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] ist und dass V mit einem Skalarprodukt <,> ausgestattet ist.
Sonst ist die Eigenschaft "selbstadjungiert" sinnlos.
[mm] \lambda \in \IC [/mm] ist ein Eigenwert von F, wenn es ein x [mm] \ne [/mm] 0 in V gibt mit
$ Fx= [mm] \lambda [/mm] x$
Nun berechne <Fx,x> und <x,Fx>
Wenn Du jetzt noch beachtest, dass <Fx,x> = <x,Fx>, so solltest Du [mm] \lambda \in \IR [/mm] sehen.
FRED
P.S.: Sollte in obiger Aufgabe V unendlichdimensional sein, so wird i.a. Spektrum (F) nicht nur aus Eigenwerten von F bestehen. In diesem Fall ist der Nachweis von Spektrum (F) [mm] \subseteq \IR [/mm] schwieriger.
FRED
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> F:V [mm]\to[/mm] V selbstadjungiert [mm]\rightarrow[/mm] Spektrum (F) [mm]\in \IR[/mm]
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> Das ist ja eigentlich ein schöner Satz, hab aber grad keine
> Ahnung, wie ich denn die Eigenwerte einer Funktion
> berechnnen kann. Bei einer Matrix ist es klar.
> Ich kann eine Abbildung doch auch in eine Matrix
> umschreiben, aber auch da tu ich mir noch schwer, kann mir
> das vll auch einer von euch mal verständlich erklären?
Hallo,
die Eigenwerte einer linearen Abbildung sind die Eigenwerte der darstellenden Matrix der Abbildung bzgl irgendeiner Basis B.
Zu dieser Matrix kommst Du so:
Berechne die Werte der Abbildung auf den Basisvektoren von B (z.B. auf der Standardbasis, aber jede andere ist ebensogut).
Wichtig ist, daß Du das Ergebnis in Koordinaten bzgl B darstellst, also als Linearkombination der Vektoren aus B darstellst.
Wenn [mm] f(b_i)=\summe a_kb_k [/mm] ist, geben die [mm] a_k [/mm] die erste Spalte der darstellenden Matrix bzgl. B.
Ich hoffe, das war verständlich.
Wenn nicht, bring ein Beispiel einer Funktion, von der Du die darstellende Matrix berechnen möchtest. (Du wirst aber sicher auch auf der Suche in alten Beiträgen fündig.)
Jetzt etwas näher ran die Aufgabe: wenn F eine selbstadjungierte Abbildung ist, dann ist ihre darstellende Matrix bzgl. einer ONB symmetrisch, das muß man hier wissen oder womöglich auch zeigen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mi 03.09.2008 | | Autor: | cares87 |
okay, danke, das hab ich locker verstanden, mit der erklärung soltes also klappen :)
lg,
caro
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