Eigenwerte einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Mi 14.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Abend zusammen!
Ich weiß leider nicht, wie ich die Eigenwerte und Vektoren einer Matrix berechne, könnt ihr mir das Vorgehen beschreiben, so dass ich mich mal dran begeben kann?
hab natürlich schon wie verrückt im Internet geschaut aber da find ich nichts gescheites
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mi 14.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Ich habe doch geschrieben, dass ich schon gesucht habe und es aus den Quellen nicht verstanden habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Mi 14.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich gehe mal davon aus, das du so ungefähr weißt was Eigenwerte sind und auch was Eigenvektoren sind. Und das du dich mit Matrizen auskennst setze ich mal voraus.
Die Eigenwerte einer quadratischen Matrix berechnest du über die folgende Formel.
[mm] det(A-\lambda*I)=0
[/mm]
Dabei ist A deine Matrix von der du die Eigenwerte und die Eigenvektoren suchst, [mm] \lambda [/mm] sind die Eigenwerte und I ist die Einheitsmatrix. Wie man genau auf diese Formel kommt lasse ich mal weg.
Du subtrahierst also von der Matrix A die Matrix, die nur die [mm] \lambda-Werte [/mm] auf der Diagonalen hat und berechnest von der neu entstandenen Matrix die Determinante. Diese Determinante wird ein Polynom n-ten Grades mit den [mm] \lambda [/mm] als Unbekannten. Dieses ist das sog. charakteristische Polynom. Somit hast du dann sozusagen die Nullstellen eines Polynoms n-ten Grades zu finden. Die gefundenen Lösungen für [mm] \lambda [/mm] sind die Eigenwerte.
Die zugehörigen Eigenvektoren findest du, wenn du folgende Gleichung löst.
[mm] (A-\lambda*I)x=0
[/mm]
Deine berechneten Eigenwerte setzt du jeweils für [mm] \lambda [/mm] ein und löst das zugehörige LGS. Die Lösung ist der zugehörige Eigenvektor.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Do 15.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Danke, hoffe ich hab es kapiert ;)
also ich möchte die Eigenwerte von
A = [mm] \pmat{ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ -5 & 2 &-4 \\}
[/mm]
bestimmen. Ich habe das so gemacht wie du gesagt hast und bekomme:
[mm] \pmat{ 2 - \lambda & -3 & 1 \\ 3 & 1 - \lambda& 3 \\ -5 & 2 &-4 - \lambda \\}
[/mm]
wenn ich jetzt die Regel von Sarrus anwende, um die Determinante zu berchnen bekomme ich
(2 - [mm] \lambda [/mm] ) ( 1- [mm] \lambda [/mm] ) (-4 - [mm] \lambda [/mm] ) + 45 + 6 + 5 ( 1 - [mm] \lambda [/mm] ) - 6 * (2- [mm] \lambda [/mm] ) + 9(-4 - [mm] \lambda [/mm] )
ist das der richtige Weg? mir ist das in der Klausur was lange, weil das ja jetzt noch alles zusammengefasst werden muss. Geht es schneller?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Do 15.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
nein, das geht nicht schneller.
Du bekommst die Eigenwerte nur über das charakteristische Polynom und das geht eben über:
[mm] $det(\lambda I-A)=det(A-\lambda [/mm] I)=0$
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:41 Do 15.02.2007 | | Autor: | svenchen |
also bei einer aufgabe die in etwa gleich ist haben wir etwas ausgeklammert und dann gings relativ schnell. Nur das kapier ich nicht wie das gemacht wurde. Kann man das allgemein sagen oder soll ich die Aufgabe mit Lösungsweg mal posten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Do 15.02.2007 | | Autor: | Herby |
Salut,
> also bei einer aufgabe die in etwa gleich ist haben wir
> etwas ausgeklammert und dann gings relativ schnell. Nur das
> kapier ich nicht wie das gemacht wurde. Kann man das
> allgemein sagen oder soll ich die Aufgabe mit Lösungsweg
> mal posten?
kann es sein, dass irgendwo in der Matrix Elemente mit dem Wert 0 auftauchten?
wenn es geht, dann stell' die Aufgabe bitte mal ins Netz.
lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 15.02.2007 | | Autor: | svenchen |
nein, das sieht so aus:
[mm] \pmat{ -11 & -4 & -8\\18 &7&12\\6&2&5 }
[/mm]
[mm] \vmat{ -11 -\lambda& -4 & -8\\18 &7-\lambda&12\\6&2&5 -\lambda}
[/mm]
letzte mit - 3 multipliziert und auf zweite Zeile addiert.
lertzte mit 2 multipliziert und auf erste Zeile addiert
= [mm] \vmat{ 1 -\lambda& 0&2 - 2 \lambda \\ 0&1 -\lambda&-3 + 3 \lambda \\5&2&5-\lambda}
[/mm]
= [mm] (1-\lambda)^2 \vmat{ 1 & 0&2 \\ 0&1& -3 \\6&2&5-\lambda}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 15.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Hallo, danke für deine Antwort.
Nein leider ist mir nicht klar, was da passiert ist. Ich habe noch nie groß mit Determinanten gerechnet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Do 15.02.2007 | | Autor: | svenchen |
ok.
Ist es dann egal, aus welcher Zeile der Determinante ich etwas ausklammere, hauptsache nur aus einer?
Wie würde ich denn bei meinem Beispiel oben am geeignetsten vorgehen ? Jetzt wirklich anfangen alle Klammern auszumultipliziern ? Oder gibt es einen geschickten Weg, mit den man in 2 bis 3 Minuten fertig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Do 15.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
noralerweise ist es egal aus welcher Zeile oder Spalte du ausklammerst, aber wie schon gesagt, du darfst nur aus einer ausklammern!
In deinem Beispiel würde ich ausmultiplizieren und nach [mm] \lambda [/mm] auflösen. So lange dauert das auch nicht. Es müsste ein einfacher Term dritten Grades rauskommen, aus dem du auch noch ein [mm] \lambda [/mm] ausklammern kannst, dann hast du schon einen Eigenwert und der Rest ist eine quadratische Gleichung.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 15.02.2007 | | Autor: | svenchen |
ok danke hab auch die richitge Lösung raus aber hat was gedauert ;)
Kannst du mal bitte auf
http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node56.html#SECTION03520000000000000000
schauen?
Da wurden von einer 3x3 Matrix auch die Eigenwerte berechnet. Aber von einem Schritt auf den anderen ist aus der 3x3 Determinante eine 2x2 geworden. Wie macht man sowas? Ich würde gerne solche Sachen erkennen lernen denn ich denk mal die Aufgabe die wir bekommen wird auch entsprechend zu recht gebastelt sein.
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Hallo,
die 3x3 wurde nach 1. Spalte entwickelt, somit erhälst du eine 2x2,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Fr 16.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Alles klar, jetzt weiss ich auch wozu man Determinante verwendet. Dieser Etwicklungssatz war meine Tagesbeschäftigung gestern. Kann man irgendiwe einen Regelfall angeben, ab dem es sich lohnt diese Reduzierung vorzunehmen oder wann es lieber besser ist, auszumultiplizieren?
Ach was ich auch noch fragen wollte ist, wozu Determinanten sonst noch gut sind?
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Hallo,
du kannst eine Determinante prinzipiell nach jeder Spalte oder Zeile entwickeln, beachte aber stets die Vorzeichen, damit es sich "lohnt", wähle stets die Spalte oder Zeile, die die meisten Nullen enthält. Die Determinanten kannst du z. B. auch bei der Berechnung von inversen Matrizen benutzen, Vorrausetzung ist ja [mm] det(A)\not=0,
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Fr 16.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Die inversen wollte ich mir heute aneignen.
Ist die Voraussetzung, das die inverse existiert, dass die Determinante ungleich 0 sein muss?
Oder kann man mit den Determinanten sogar die inverse berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Fr 16.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Die inversen wollte ich mir heute aneignen.
> Ist die Voraussetzung, das die inverse existiert, dass die
> Determinante ungleich 0 sein muss?
ja, denn nur dann ist die Matrix regulär und invertierbar
> Oder kann man mit den Determinanten sogar die inverse
> berechnen?
Über die Formel:
[mm] A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*adj(A)
[/mm]
hierbei ist adj=![[]](/images/popup.gif) Adjunkte der Matrix A
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:11 Fr 16.02.2007 | | Autor: | svenchen |
okay. Danke auch hierfür.
Jetzt interessiert mich noch wie ich Aufgabe 46 hier lösen könnte:
http://www.math1.rwth-aachen.de/files/HM/I/blatt12.pdf
Wie bei so vielem finde ich auch keine gerechte Beschreibung im Internet, was eine Jordan Matrix und Jordan Blöcke sind, und vor allem wozu das gut ist. Könnt ihr mit Links dienen oder es in eigenen Worten ;) sagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Fr 16.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
habe mir die Aufgabe mal angeschaut. Hierbei geht es glaube ich um die Diagonalisierung einer Matrix. Zumindest von der Formel aus der Aufgabe her müsste es so sein. Also wenn du vielleicht irgendwo mal unter Diagonalisierung einer Matrix suchst.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Sa 17.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Kann man eien Matrix diagonalisieren, wenn man die inverse berechnen kann?
Wenn man die inverse berechnet, dann diagonalisiert man die matrix doch, indem man sie auf die Einheitsmatrix bringt, oder?
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> Kann man eien Matrix diagonalisieren, wenn man die inverse
> berechnen kann?
Hallo,
nein, wenn sie invertierbar ist, heißt das noch nicht, daß sie diagonalisierbar ist.
Für die Diagonalisierbarkeit muß es eine Basis aus Eigenvektoren geben.
Nimm die xy-Ebene und hierin die Drehung um 45°. Offensichtlich (ich hoffe sehr, daß Dir das offensichtlich ist...) hat sie keinen Eigenvektor. Daher ist sie nicht diagonalisierbar.
Invertierbar ist sie durchaus: einfach zurückdrehen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Do 15.02.2007 | | Autor: | elalina |
Man kann die Eigenwerte auch so finde ich einfacher berechnen..
Nehmen wir an ich habe eine (3x3) Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6}
[/mm]
dann berechnet man [mm] Spa(\lambda) [/mm] mit 1+2+6 = 9
[mm] det(A)=\vmat{ 2 & 3 \\ 5 & 6 }=-3
[/mm]
[mm] tau2(\lambda)=\vmat{ 1 & 2 \\ 0 & 2 }+\vmat{ 2 & 3 \\ 5 & 6 }+\vmat{ 1 & 3 \\ 0 & 6 }=5
[/mm]
dann nimmt man die Formel
[mm] Cpa(\lambda)=-\lambda^3+sp(A)*\lambda^2-tau2(A)*\lambda+det(A) [/mm] und setzt die Zahlen ein,
Als Ergebnis bekommt man
[mm] Cpa(\lambda)=-\lambda^3+9*\lambda^2-5*\lambda+(-3) [/mm]
dann macht man eine Polynomdivision und teilt durch [mm] (\lambda-1) [/mm] und bekomme dann [mm] \lambda^2-8\lambda-3 [/mm] raus. Jetzt weiter mit der p-q Formel und ich hab die Eigenwerte
[mm] \lambda1= [/mm] 1
[mm] \lambda2= [/mm] 4+ [mm] \wurzel{19}
[/mm]
[mm] \lambda3= [/mm] 4- [mm] \wurzel{19}
[/mm]
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
und nicht
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]"){kind=small}
