Eigenwerte einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Fr 22.01.2010 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Sei [mm] \lambda\in\IC [/mm] ein Eigenwert von [mm] T\in\IC^{n \times n}. [/mm] Zeigen Sie:
a) [mm] |\lambda| \le max_{1\le j \le n}(\summe_{i=1}^{n}|T_{ij}|)
[/mm]
b) [mm] |\lambda| \le max_{1 \le i \le n}(\summe_{j=1}^{n}|T_{ij}|)
[/mm]
c) [mm] |\lambda| \le (\summe_{i,j=1}^{n}|T_{ij}|^{2})^{\bruch{1}{2}} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich weiß bei obiger Aufgabe nicht ganz, wie ich da ansetzen soll. Welche Eigenschaften muss ich da wie verwenden?
Wäre super, wenn mir jemand vielleicht kurz helfen könnte!
Gruß Michi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Sa 23.01.2010 | | Autor: | MichiNes |
....oder vielleicht irgend nen Tipp, wies vielleicht gehen könnte?? Bin ziemlich ratlos!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Sa 23.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
unter Voraussetzung das für die jeweils betrachtete Norm gilt
[mm] \parallel{Ax}\parallel\le\parallel{A}\parallel*\parallel{x}\parallel [/mm] , folgt für einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] zum Eigenwert v
[mm] |\lambda|*\parallel{v}\parallel=\parallel{\lambda*v}\parallel=\parallel{A*v}\parallel\le\parallel{A}\parallel*\parallel{v}\parallel
[/mm]
Und daraus folgt [mm] |\lambda|\le\parallel{A}\parallel
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 So 24.01.2010 | | Autor: | MichiNes |
> unter Voraussetzung das für die jeweils betrachtete Norm
> gilt
>
> [mm]\parallel{Ax}\parallel\le\parallel{A}\parallel*\parallel{x}\parallel[/mm]
diese Voraussetzung gilt ja nicht immer, oder? Im meinem Fall steht da nix extra dabei, deshalb glaub ich nicht, dass ich das verwenden darf.
Wie könnt ich sonst noch ansetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 24.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
eigentlich war die Idee so.
Wenn man zwei Normen, eine Vektornorm [mm] \parallel{.}\parallel_V [/mm] und eine Matrixnorm [mm] \parallel{.}\parallel_M [/mm] hat die die Eigenschaft
[mm] \parallel{A*x}\parallel_V\le\parallel{A}\parallel_M*\parallel{x}\parallel_V [/mm] besitzt
dann gilt für die Eigenwerte der Matrix A
[mm] |\lambda|\le\parallel{A}\parallel_M [/mm]
s. meine erste Antwort (Normen mit dieser Eigenschaft nennt man kompatible Normen). Also muss man solche Normen finden.
Definiere z.B. folgende Matrixnorm [mm] \parallel{T}\parallel_M:=\left(\summe_{i,j=1}^{n}|T_{ij}|^{2}\right)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
und die Vektornorm [mm] \parallel{x}\parallel_V:=\left(\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Nachzuweisen ist nun die Kombatibilität der Normen und allg. das es überhaupt Normen sind was ich aber jetzt mal voraussetze. Die Kompatibilität weisst man dadurch nach, das bewiesen wird, das gilt
[mm] \parallel{T*x}\parallel_V\le\parallel{T}\parallel_M*\parallel{x}\parallel_M [/mm] wobei die Definitionen von oben benutzt werden.
Hier kannst Du die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung benutzen. Dann ist der Beweis erbracht das
[mm] |\lambda| \le (\summe_{i,j=1}^{n}|T_{ij}|^{2})^{\bruch{1}{2}} [/mm] gilt.
mfg ullim
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