Eigenwerte komplexer Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mo 30.07.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
welche möglichen Bedingung(en) garantieren mir für eine komplexe (nicht hermitesche!!!) Matrix [mm] $A\in\IC^{N,N}$, [/mm] dass alle ihre Eigenwerte einen positiven Realteil besitzen?
Hinweis: In meinem speziellen Fall ist $A$ sogar diagonalisierbar über [mm] $\IC$.
[/mm]
Vielen Dank für Eure Hinweise
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mi 01.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Eine Matrix $ [mm] B\in\IC^{N,N} [/mm] $ heißt dissipativ, wenn
[mm] $||(\lambda*I-B)x|| \ge \lambda*||x|| [/mm] für alle [mm] \lambda [/mm] >0 und alle x [mm] \in \IC^N.
[/mm]
Aus dem Satz von Lumer - Phillips (https://isem-mathematik.uibk.ac.at/isemwiki/images/3/35/ISEM15_Lecture6.pdf) folgt:
B ist dissipativ [mm] \gdw [/mm] Re <Bx,x> [mm] \le [/mm] 0 für alle x [mm] \in \IC^N.
[/mm]
(Dabei ist <*,*> das Standardskalarprodukt auf [mm] \IC^N [/mm] und ||*|| die hiervon induzierte Norm.)
Für jeden Eigenwert [mm] \lambda [/mm] einer dissipativen Matrix B ist also [mm] Re(\lambda) \le [/mm] 0.
Betrachte also Matrizen A für die -A dissipativ ist.
FRED
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