Eigenwerte und -räume < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie Eigenwerte und -räume der Matrix
[mm] \pmat{ -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2 }
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Ich weiss zu Eigenwerten gibt es 1000 Fragen.. und das ist auch das Problem. Habe jetzt schon dutzende Fragen durchforstet, aber nirgendwo konnte ich wirklich mein Problem finden, da schon Eigenvektoren o.Ä. bereits errechnet wurde... Nur ich weiss halt nicht wie man das errechnet...
Kann mir da vielleicht einer helfen, die Dinge mal kurz zu erklären bzw mir den Ansatz zu liefern, dass ich diese Aufgabe verstehe??
Lieben Gruß
|
|
| |
|
Hallo Sven und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
Die Eigenwerte der Matrix [mm] $A=\pmat{ -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2 } [/mm] $ sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms [mm] $cp(\lambda)$
[/mm]
Dieses berechnest du über die Determinante von [mm] $A-\lambda\cdot{}\mathnn{E}_3$
[/mm]
Also:
[mm] $A-\lambda\cdot{}\mathnn{E}_3=\pmat{ -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2 }-\lambda\cdot{}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 \\0 & 0 & 1 }=\pmat{ -3-\lambda & 1 & -1 \\ -7 & 5-\lambda & -1 \\ -6 & 6 & -2-\lambda }$
[/mm]
Rechne diese Determinante aus (mit Sarrus). Das liefert dir das charakteristische Polynom [mm] $cp(\lambda)$ [/mm] in der Variable [mm] $\lambda$
[/mm]
Dessen Nullstellen sind dann die Eigenwerte der Matrix A
Um den entsprechenden Eigenraum zu einem Eigenwert [mm] $\lambda_i$ [/mm] zu bestimmen, berechne den [mm] $Kern(A-\lambda_i\cdot{}\mathbb{E}_3)$
[/mm]
Also die Lösungsmenge der Gleichung [mm] $(A-\lambda_i\cdot{}\mathbb{E}_3)\cdot{}x=0$
[/mm]
Diese Lösungsmenge ist der [mm] $Kern(A-\lambda_i\cdot{}\mathbb{E}_3)=Eig(A,\lambda_i)$
[/mm]
Dann mal viel Spaß 
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Danke für die herzliche Aufnahme, musste schon ein wenig schmunzeln :P
Also irgendwie bringt mich das nicht weiter... sorry :( bin halt en Mathe Loser^^
Also woher/was soll die diagonalisierte Matrix? Was ist der Kern,E3....................
Und das mit dem Satz des Sarrus: Habe den jetzt schon oft bei Determinanten angewandt aber bei Eigenwerten komm ich niemals auf die richtig Polynomgleichung :-( :-(
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
[mm] $\mathbb{E}_3$ [/mm] soll die [mm] $3\times [/mm] 3$-Einheitsmatrix bezeichnen, also [mm] $\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$
[/mm]
Das geht doch aus dem, was ich geschrieben habe, deutlich hervor - oder nicht??
Dann musst du die Determinante der Matrix [mm] (A-\lambda\mathbb{E}_3) [/mm] berechnen.
Wie [mm] A-\lambda\mathbb{E}_3 [/mm] aussieht, habe ich dir auch hingeschrieben...
Versuch mal selber, die Determinante davon zu berechnen, wenn du's mit Sarrus nicht hinbekommst, kannst du nach ner beliebigen Zeile/Spalte entwickeln (Laplace)
Schau halt mal in die VL, da ist ja irgendwie und irgendwo definiert worden, wie man ne Determinante berechnet ...
Dann die NST von dem char. Polynom bestimmen, dass du bei der Berechnung der Det. erhältst.
Das sind deine Eigenwerte
Dann konkret einen Eigenwert [mm] $\mu$ [/mm] einsetzen und folgende (Matrix-)Gleichung lösen:
[mm] $(A-\mu\mathbb{E}_3)\cdot{}\vec{x}=\vec{0}$
[/mm]
Diese Lösungsmenge dieser (Matrix-)Gleichung bezeichnet man auch als Kern der Matrix [mm] A-\mu\mathbb{E}_3
[/mm]
Nun versuche du dich mal an der Determinante, den Rest nehmen wir uns dann später vor...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
noch ne kleine frage. hab mich mal an was anderes gemacht... also ner anderen aufgabe wo ich die rechnung schon habe.
hier steht: [mm] -\lambda [/mm] ( [mm] \lambda² [/mm] - 12) = -16
NST sind 4 und -2... wie les ich die ab??
habs jetzt irgendwie gerafft bekommen. probieren geht über studieren :P
|
|
|
| |
|
> noch ne kleine frage. hab mich mal an was anderes
> gemacht... also ner anderen aufgabe wo ich die rechnung
> schon habe.
> hier steht: [mm]-\lambda[/mm] ( [mm]\lambda²[/mm] - 12) = -16
> NST sind 4 und -2... wie les ich die ab??
>
> habs jetzt irgendwie gerafft bekommen. probieren geht über
> studieren :P
Hallo,
mit ausprobieren/raten hast Du schon einen guten Weg eingeschlagen:
> [mm]-\lambda[/mm] ( [mm]\lambda²[/mm] - 12) = -16
<==> [mm] \lambda^3-12\lambda [/mm] -16=0
Nulstellenraten ergibt: 4 ist eine Nullstelle.
Nun kannst Du (x-4) ausklammern (Polynomdivision) und Du erhältst:
[mm] 0=\lambda^3-12\lambda -16=(x-4)(x^2+4x+4)
[/mm]
Wenn Du die Nullstellen des 2. Faktors nicht sofort siehst, kannst Du sie ausrechen (quadratische Gleichung), und Du erhältst
[mm] 0=\lambda^3-12\lambda -16=(x-4)(x^2+4x+4)=(x-4)(x+2)^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
also habe jetzt die nullstellen und setze diese in die gleichung ein sodass dort steht: [mm] \pmat{ -3 & -3 & 3 \\ 3 & -9 & 3 \\ 6 & -6 & 0 }
[/mm]
wie soll ich das jetzt auflösen. hab hier als Lösung stehen
[mm] \pmat{ -3 & -3 & 3 \\ 0 & -12 & 6 } [/mm] = 0
|R * [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
klar. 12/6 ergibt 2 aber das müsste dch irgendwie x3 = 6/12 x2 heissen oder nicht??? bin grad leicht verwirrt^^
|
|
|
| |
|
Hallo Sven,
> also habe jetzt die nullstellen und setze diese in die
> gleichung ein sodass dort steht: [mm]\pmat{ -3 & -3 & 3 \\ 3 & -9 & 3 \\ 6 & -6 & 0 }[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich weiß beim besten Willen nicht, wie du auf diese Matrix kommst??
Wenn du nun mit den beiden Nusstellen [mm] $\lambda_1=-2, \lmabda_2=4$ [/mm] des char. Poylnoms (Eigenwerte) den Kern von [mm] $A-\lambda_i\cdot{}\mathbb{E}_3$ [/mm] berechnest, wie ich oben geschrieben habe, kommst du doch auf:
Für [mm] $\lambda_1=-2$:
[/mm]
[mm] $A-(-2)\cdot{}\mathbb{E}_3=\pmat{ -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2 }+2\cdot{}\pmat{ 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2 }+\pmat{ 2& 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }=\underbrace{\pmat{ -1 & 1 & -1 \\ -7 & 7 & -1 \\ -6 & 6 & 0}}_{=:B}$
[/mm]
Nun musst du den Kern von B bestimmen, also die Lösungsmenge von [mm] $B\cdot{}\vec{x}=\vec{0}$
[/mm]
Dazu bringe B in Zeilenstufenform, dann kannst du das ablesen
Für [mm] $\lambda_2=4$ [/mm] genauso:
[mm] $A-4\cdot{}\mathbb{E}_3=\pmat{ -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2 }-4\cdot{}\pmat{ 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ -7 & 1 & -1 \\ -7 & 1 & -1 \\ -6 & 6 & -6 }$
[/mm]
Dann wieder diesen Kern bestimmen
> wie soll ich das jetzt auflösen. hab hier als Lösung stehen
>
> [mm]\pmat{ -3 & -3 & 3 \\ 0 & -12 & 6 }[/mm] = 0
>
> |R * [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 }[/mm]
>
> klar. 12/6 ergibt 2 aber das müsste dch irgendwie x3 = 6/12
> x2 heissen oder nicht??? bin grad leicht verwirrt^^
ich auch, k.A., was damit gemeint sein soll
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
also dann habe ich x1, x2, x3 raus. das is dann der eigenvektor??
|
|
|
| |
|
> also dann habe ich x1, x2, x3 raus. das is dann der
> eigenvektor??
Hallo,
Du sprichst in Rätseln...
WAS hast Du für [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] heraus, und zu welcher Matrix und zu welchem Eigenwert soll das ein Eigenvektor sein.
Wenn Du diese Informationen lieferst, wird man über falsch und richtig befinden können.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Also, du sagtest ja:
Nun musst du den Kern von B bestimmen, also die Lösungsmenge von $ [mm] B\cdot{}\vec{x}=\vec{0} [/mm] $
Für mich bedeuted das, dass ich ein LGS rechnen muss und die Gleichung gleich null... dann bekomme ich da 3Werte heraus
|
|
|
| |
|
> Also, du sagtest ja:
> Nun musst du den Kern von B bestimmen, also die
> Lösungsmenge von [mm]B\cdot{}\vec{x}=\vec{0}[/mm]
>
> Für mich bedeuted das, dass ich ein LGS rechnen muss und
> die Gleichung gleich null... dann bekomme ich da 3Werte
> heraus
Hallo,
wenn Du den Kern der richtigen Matrix richtig berechnet hast - also das richtige LGS richtig gelöst -, hast Du einen Eigenvektor gefunden.
Es ist in der tat also ein LGS zu lösen.
OB Du es richtig getan hast, weiß ich natürlich nicht.
Du kannst Deinen Eigenvektor aber selbst testen:
wenn Du die Ausgangsmatrix mit diesem multiplizierst, muß Eigenwert*Eigenvektor herauskommen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Do 31.01.2008 | | Autor: | crashby |
Hey,
ich versuch dir mal ein bissel bei dem char. Polynom zu helfen.
Es gibt dort eine Formel und zwar diese hier:
$ [mm] p(\lambda)=-\lambda^3+spur [/mm] A [mm] \lambda^2-c_2\cdot \lambda+det [/mm] A $ (Für 3 x 3 Matrizen!!! )
Allgemein:
$ A= [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g& h & j} [/mm] $
$ [mm] c_2 [/mm] $ ist für $ A= [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g& h & j} [/mm] $ definiert als
[mm] $c_2 [/mm] = [mm] \vmat{ a&b\\d & e}+\vmat{a &c\\g & j}+\vmat{e&f\\h & j}$
[/mm]
Sieht Anfangs ein bissel komsich aus aber ich nehme mir jetzt deine Matrix und zeige dir das mal.
Wir haben also die Matrix A mit $ [mm] A=\pmat{ -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2 } [/mm] $
Ok was ist zum Teufel die Spur einer MAtrix?
Ganz einfach, man addiert die Elemente der Hauptdiagonalen
$ spur A=-3+5-2 =0 $
Für $ [mm] c_2 [/mm] $ gilt: $ [mm] c_2 [/mm] = [mm] \vmat{ -3 & 1\\-7 & 5}+\vmat{ -3 & -1\\-6 & -2} +\vmat{ 5 & -1\\6 & -2}=-8-4=-12$
[/mm]
$ det A = 16 $ Das bekommt man mit Sarrus raus
und damit heißt das cbhar. Polynom:
$ [mm] p(\lamda)=-\lambda^3-0\cdot \lambda +12\lambda +16=-\lambda^3 +12\lambda [/mm] +16 $
$ [mm] p(\lambda)=\lambda^3 +12\lambda [/mm] -16$
Nun gut das ist ein bissel mehr Arbeit aber so kann man den $ [mm] \lambda [/mm] $ 's aus den Weg gehen, wenn man die Determinante mit Sarrus berechnet.
lg George
|
|
|
|
