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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 So 17.01.2010 | | Autor: | phyma |
| Aufgabe | Bestimme die Eigenwerte und -vektoren folgender Matrix:
[mm] $A:=\pmat{ 2/3 & -1/4 & -1/4 \\ -1/4 & 2/3 & -1/4 \\ -1/4 & -1/4 & 2/3}$. [/mm] |
Hallo,
die Eigenwerte haben ich über das charakteristische Polynom ausgerechnet und bekomme:
[mm] $\lambda_1 [/mm] = 1/6$, [mm] $\lambda_2=11/12=\lambda_3$
[/mm]
Als ersten Eigenvektor bekomme ich [mm] $\vec{x}_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}$.
[/mm]
Beim zweiten habe ich ein Problem. Ich erhalte ja dann eine Blockmatrix aus lauter Einsen und damit als einzige Gleichung (wenn [mm] $x_1, x_2, x_3$ [/mm] die drei Einträge meines zweiten Eigenvektors [mm] $\vec{x}_2$ [/mm] sind): [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0$
Kann ich jetzt einfach [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] beliebig (z.B. auf 1) setzen und erhalte dann so [mm] $x_3$? [/mm] Oder wie muss ich das hier dann machen?
Wie ist das mit einem dritten Eigenvektor? Gibt es den überhaupt?
Vielen Dank schon im Voraus
phyma
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Hallo phyma,
> Bestimme die Eigenwerte und -vektoren folgender Matrix:
> [mm]A:=\pmat{ 2/3 & -1/4 & -1/4 \\ -1/4 & 2/3 & -1/4 \\ -1/4 & -1/4 & 2/3}[/mm].
>
> Hallo,
> die Eigenwerte haben ich über das charakteristische
> Polynom ausgerechnet und bekomme:
> [mm]\lambda_1 = 1/6[/mm], [mm]\lambda_2=11/12=\lambda_3[/mm]
>
> Als ersten Eigenvektor bekomme ich [mm]\vec{x}_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm].
>
> Beim zweiten habe ich ein Problem. Ich erhalte ja dann eine
> Blockmatrix aus lauter Einsen und damit als einzige
> Gleichung (wenn [mm]x_1, x_2, x_3[/mm] die drei Einträge meines
> zweiten Eigenvektors [mm]\vec{x}_2[/mm] sind): [mm]x_1 + x_2 + x_3 = 0[/mm]
>
> Kann ich jetzt einfach [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] beliebig (z.B. auf 1)
> setzen und erhalte dann so [mm]x_3[/mm]? Oder wie muss ich das hier
> dann machen?
> Wie ist das mit einem dritten Eigenvektor? Gibt es den
> überhaupt?
Aus einer Gleiuchung in drei Variablen
kannst Du 2 Variable beliebig wählen.
Löse die Gleichung
[mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=0[/mm]
nach [mm]x_{3}[/mm] auf.
Setze dann [mm]x_{1}=s, \ x_{2}=t[/mm]
Dann erhältst Du
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=s*\pmat{ ... \\ ... \\ ...}+t*\pmat{ ... \\ ... \\ ...}[/mm]
Die Vektoren, die bei den Parametern s bzw.t stehen,
sind jetzt die gesuchten 2 Eigenvektoren.
>
> Vielen Dank schon im Voraus
> phyma
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 17.01.2010 | | Autor: | phyma |
Ok, danke - aber wie bekomme ich dann die beiden Vektoren?
Stimmt das so, wie es folgt?:
[mm] $\vektor{x1\\x2\\x3}=\vektor{s\\t\\-s-t}=s*\vektor{1\\0\\-1} [/mm] + [mm] t*\vektor{0\\1\\-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \vec{x}_2=\vektor{1\\0\\-1}, \vec{x}_3=\vektor{0\\1\\-1}?
[/mm]
Dankeschön.
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Hallo phyma,
> Ok, danke - aber wie bekomme ich dann die beiden Vektoren?
>
> Stimmt das so, wie es folgt?:
>
> [mm]\vektor{x1\\x2\\x3}=\vektor{s\\t\\-s-t}=s*\vektor{1\\0\\-1} + t*\vektor{0\\1\\-1}[/mm]
>
> [mm]$\Rightarrow \vec{x}_2=\vektor{1\\0\\-1}, \vec{x}_3=\vektor{0\\1\\-1}?[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dankeschön.
Gruss
MathePower
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